Уравнение y^2=x(x-sq^2)(x+sq^2)

[scwec]

Пусть число $s$ - площадь прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон.
Докажите, что существуют целые числа $q$ такие, что уравнение $y^2=x(x-sq^2)(x+sq^2)$ имеет не менее десяти решений в целых числах $y\ne{0},x$.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1545728 писал(а):

Докажите, что существуют целые числа $q$ такие, что уравнение... имеет не менее десяти решений...

Не очень понятно, имеется ли в виду не менее десяти решений для некоторого фиксированного $q$, или для возможных различных?

По условию $s$ конгруэнтно, значит существует хотя бы одна пара рациональных $a,b$ таких, что $ab(a^2-b^2)=s.$ Отсюда в свою очередь следует существование $q$ таких, что пара $x=ab(a+b)^2q^2,\ y=2a^2b^2(a+b)^2q^3$ — целая. Набрать с десяток таких $q$ не представляет труда.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1545791 писал(а):

Не очень понятно, имеется ли в виду не менее десяти решений для некоторого фиксированного $q$, или для возможных различных?

Для фиксированного $q$, конечно.

[Andrey A]

Ну, всё равно. Мы ведь это уже проходили:

scwec в сообщении #1449339 писал(а):

Число прямоугольных рациональных треугольников с заданной площадью, которая является конгруэнтным числом, бесконечно.
Строятся эти треугольники следующим образом.
Пусть имеется прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и $a^2+b^2=c^2$, площадь его $S=\dfrac{ab}{2}$.
Рассмотрим другой треугольник с рациональными длинами сторон
$A=\dfrac{2abc}{|a^2-b^2|}$, $B=\dfrac{|a^2-b^2|}{2c}$,$C=\dfrac{c^4+4a^2{b^2}}{2c|a^2-b^2|}$.
Он прямоугольный, поскольку $A^2+B^2=C^2$, и площадь его $S=\dfrac{ab}{2}$.
Продолжая процесс построения дальше, получим сколько угодно таких треугольников. Повторов треугольников не будет, это следует из теоремы о 3-х точках кручения на эллиптической кривой $y^2=x^3-S^2{x}$
Получение же по заданной площади первого треугольника в этой цепочке - это действительно открытая проблема.
Ну а если есть хотя бы один, то есть и бесконечно много.

Следовательно, вариантов пар $\alpha_i \beta_i(\alpha_i^2- \beta_i^2)=s$ может быть больше десяти, и ничто не мешает взять $q$ такое, что соответствующие $x_i=\alpha_i \beta_i(\alpha_i + \beta_i)^2q^2,\ y_i=2\alpha_i^2 \beta_i^2 (\alpha_i + \beta_i)^2q^3$ — целые.
Таким образом имеем более десяти решений при фиксированных $s,q.$

Исправлено 4.30

[scwec]

Andrey A
Вспомнив пройденное (что приятно), можно поступить так как Вы.
Но в виду имелось другое.
Сформулирую задачу иначе.
Пусть число $s$ - площадь прямоугольного треугольника с целыми длинами сторон.
Докажите, что уравнение $y^2=x(x-4s)(x+4s)$ имеет не менее 10 решений в целых числах $y\ne{0},x$

[Andrey A]

Я тут помолчу. Может, кто еще захочет высказаться.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1545830 писал(а):

Пусть число $s$ - площадь прямоугольного треугольника с целыми длинами сторон.
Докажите, что уравнение $y^2=x(x-4s)(x+4s)$ имеет не менее 10 решений в целых числах $y\ne{0},x$

Это интересный результат. То есть, нужно найти не менее 5 целочисленных точек $(x,y)$ с $y>0$. Складывая известную целочисленную точку с точками кручения?

[scwec]

nnosipov в сообщении #1545956 писал(а):

Складывая известную целочисленную точку с точками кручения?

Понятно, что поскольку конечных точек кручения три, то больше четырех целых точек так не получить.
Но мыслите в правильном направлении.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1545967 писал(а):

больше четырех целых точек так не получить

Это я понимаю. 5-ю, видимо, нужно получать из самой этой точки (ведь не зря в уравнении $4s$, а не просто $s$). Попробую додумать.

[scwec]

Десять искомых целых точек на кривой $y^2=x(x-4s)(x+4s)$ следующие:
${P_1}:(x,y)=(2b(b+c), 4{b^2}(b+c))$
${P_2}:(x,y)=(2b(b-c), 4{b^2}(c-b))$
${P_3}:(x,y)=(2a(a+c), 4{a^2}(a+c))$
${P_4}:(x,y)=(2a(a-c), 4{a^2}(c-a))$
${P_5}:(x,y)=(c^2, c|(a^2-b^2)|)$
Это 5 точек с $y>0$
и $-P_1, -P_2, -P_3, -P_4, -P_5$ - 5 точек с $y<0$
Здесь $a^2+b^2=c^2, s=ab/2$.
Зная одну точку (одну в других обозначениях указал Andrey A), кроме $P_5$, например, $P_1$,
складывая её с точками кручения $(0,0), (4s,0), (-4s,0)$ и саму с собой, получим все остальные (с точностью до знака).
Так что nnosipov действительно мыслил в правильном направлении.
Теперь вопрос. Найдите наименьшее $s$, для которого на кривой $y^2=x(x-4s)(x+4s)$ больше 10 целых точек с $y\ne{0}$.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1546436 писал(а):

Так что nnosipov действительно мыслил в правильном направлении.

Спасибо. Сессия была, поэтому руки не дошли это доделать.