Поляризация суперпозиции волн

[rancid_rot]

Решаю следующую задачку (оригинал здесь под номером 405):
Электромагнитная волна является суперпозицией двух некогерентных «почти монохроматических» волн равной интенсивности $I$ с приблизительно одинаковыми частотами и волновыми векторами. Обе волны поляризованы линейно, направления поляризации задаются в плоскости, перпендикулярной к их волновому вектору, ортами $\mathbf{e}^{(1)}(1,0)$ и $\mathbf{e}^{(2)}(\cos{\theta},\sin{\theta})$. Построить тензор поляризации $I_{ik}$ результирующей волны.
В задачнике предлагается следующее решение:
Амплитуда суммарной волны $\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=E(\mathbf{e}^{(1)}+\mathbf{e}^{(2)}e^{i\alpha})$, где $\alpha$ — сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, $|\mathbf{E}|^2=I$. Компоненты тензора поляризации по определению равны $I_{ik}=\overline{E_iE^*_k}=\overline{I(\mathbf{e}^{(1)}+\mathbf{e}^{(2)}e^{i\alpha})_i(\mathbf{e}^{(1)}+\mathbf{e}^{(2)}e^{-i\alpha})_k}$. ...

В последнем выражении утверждается, что $I=E^2$. Вот только $|\mathbf{E}|^2\ne E^2$. Да и откуда берётся выражение $|\mathbf{E}|^2=I$ я тоже не понимаю. Парой страниц выше сказано, что $I=\overline{EE^*}$, но сейчас это не то же самое, поскольку координаты не прямоугольные.

[zykov]

rancid_rot в сообщении #1545268 писал(а):

В последнем выражении утверждается, что $I=E^2$. Вот только $|\mathbf{E}|^2\ne E^2$. Да и откуда берётся выражение $|\mathbf{E}|^2=I$ я тоже не понимаю.

Думаю, там опечатка. Вместо $|\mathbf{E}|^2=I$ должно быть $E^2=I$. Тут $I$ - интенсивность исходных волн. Может они хотели что-то сказать про интенсивность суммарной волны, но тогда надо было новое имя ей дать (и ещё там усреднение должно быть). Далее в тензоре $I$ - это тоже интенсивность исходных волн.

rancid_rot в сообщении #1545268 писал(а):

поскольку координаты не прямоугольные.

Какие координаты не прямоугольные? Тут везде только прямоугольные координаты. Эти два орта не ортогональны, но они для координат не используются.

[realeugene]

rancid_rot
$I$ - интенсивность каждой из двух плоских почти монохроматических волн, скаляр; $I_{ik}$ - тензор поляризации, совершенно другая величина. Орты поляризации плоских волн заданы своими координатами в некотором трёхмерном базисе, я бы предполагал, что в прямоугольном.

[rancid_rot]

realeugene в сообщении #1545302 писал(а):

Может они хотели что-то сказать про интенсивность суммарной волны, но тогда надо было новое имя ей дать (и ещё там усреднение должно быть). Далее в тензоре $I$ - это тоже интенсивность исходных волн.

Похоже на то. Тогда
$\overline{EE^*}=\overline{E^2(2+\mathbf{e}^1\mathbf{e}^2(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}))}=2E^2=2I$
И при подстановке координат из условий
$|\mathbf{E}|^2=2E^2=2I$
Я действительно запутался в обозначениях, но в 5 утра это естественно.

realeugene в сообщении #1545302 писал(а):

Орты поляризации плоских волн заданы своими координатами в некотором трёхмерном базисе

Спасибо за информацию, кстати. В учебнике этот момент не уточняется.

[realeugene]

rancid_rot в сообщении #1545312 писал(а):

В учебнике этот момент не уточняется.

Если точнее, в учебнике уточняется, что эти орты заданы в двумерной плоскости, перпендикулярной волновому вектору. Т. е. в данном случае это двумерные вектора. И базис в плоскости нужно считать ортонормальным.