2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение Эйри
Сообщение16.06.2008, 17:20 
Аватара пользователя
Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

 
 
 
 Re: Уравнение Эйри
Сообщение16.06.2008, 18:13 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

такое чувство что малый решил здесь получить краткий курс прогуленых за год дифуров

 
 
 
 
Сообщение16.06.2008, 18:22 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?
Это несложный факт, который Вам будет полезно попробовать доказать самому. Начните его доказывать, и со всеми возникшими по ходу док-ва затруднениями обращайтесь к нам на форум, мы поможем.

 
 
 
 Re: Уравнение Эйри
Сообщение16.06.2008, 18:26 
Draeden писал(а):
Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?


Если $x > a^2 > 0$, то ни о каких последовательных корнях говорить нельзя. Правильно: $-x > a^2 > 0$.

 
 
 
 
Сообщение16.06.2008, 19:08 
Аватара пользователя
Гхым... ну хорошо, попробую.
Итак

$y''-xy=0$
$0 < a^2 < x_1 < x_2$
$y(x_1)=y(x_2)=0$

Видно, что $\forall x \in (x_1,x_2) \quad -a^2 > -x$.
Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$ :) )
...последний факт вызывает у меня сомнения: я начинаю немного сочинять ( чтобы легче доказывть было :) )
Методом тыка, можно найти $z=e^{at}$. В принципе понятно, что $z$ никаких корней не имеет, итого: противоречие :)

Значит надо смотреть вариант №2: $x < -a^2$, как мне и говорили :)

Добавлено спустя 10 минут 59 секунд:

...если $-x > a^2$, то возьмём $z$ такое, что $z''+a^2z=0$.
Возьмём любые $x_1,x_2$ такие, что $x_1<x_2<-a^2<0$.
Тогда $\forall x \in (x_1,x_2) \quad -x > a^2$, а значит ( по теореме, которая, как мне кажется, должа быть :) ) любое решение системы

$y''-xy=0$
$y(x_1)=y(x_2)=0$

должно иметь корень на этом интервале, т.е. $0 \in y((x_1,x_2))$.
Методом подгонки, определяю, что $z$ может равняться $\sin ax$.
Раз уж $z=\sin ax$ имеет корни в точках $ax=\pi n$ ( это я точно знаю :) ),
то расстояние между корнями $y$ ( конечно эти корни лежат левее $-a^2$ ) не превышает $\frac{\pi}a$.

P.S. это оценка сверху, а вот интересно какая будет оценка снизу...

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

...короче, жду разноса за вольное применение теории Штурма :)

 
 
 
 
Сообщение16.06.2008, 19:10 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$
Неясно, как наличие или отсутствие такой функции используется в доказательстве. Распишите подробнее.

 
 
 
 
Сообщение16.06.2008, 21:50 
Аватара пользователя
Цитата:
.короче, жду разноса за вольное применение теории Штурма Smile

:lol: Штурм бы очень удивился.

Цитата:
Если $x > a^2 > 0$, то ни о каких последовательных корнях говорить нельзя. Правильно: $-x > a^2 > 0$

Именно так. Функция при у должна быть положительной.

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 13:33 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Draeden писал(а):
Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$
Неясно, как наличие или отсутствие такой функции используется в доказательстве. Распишите подробнее.


Теорема сравнений:

если выполнены условия

$y''+qy=0$
$z''+pz=0$
$p,q \in C$
$y(a)=y(b)=0$
$0 \not \in y((a,b))$
$\forall t \in (a,b) \quad p(t) \ge q(t)$
$c \in (a,b),\quad p(c) > q(c)$

то $0 \in z((a,b))$.

В частности, сравнивая уравнения о которых вы говорите: $y''-xy=0$, $z''-a^2z=0$, можно получить, что $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group