Интегральное неравенство типа Харди

[novichok2018]

Пусть $0<a<b, m=\frac{a+b}{2}$, действительная функция $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$, функция и её производная непрерывны на этом отрезке, кроме того задано условие в середине отрезка $f(m)=0$. Доказать неравенство

$$ \int_a^b (f'(x))^2\, dx \geq \frac{12}{(b-a)^3} \left(\int_a^b f(x)\, dx\right)^2 . $$

[Null]

$\int_0^s f(x)\, dx =\int_0^s f'(x)(s-x)\, dx $, если $f(0)=0$.

[novichok2018]

Это с условием на нижнем пределе. Здесь в середине отрезка. Или поясните, пожалуйста.

[Null]

Разбейте интервал на 2 части в точке $m$.

[novichok2018]

Null - пришлось ещё подумать, как применить Вашу подсказку, но всё получилось. Спасибо!