2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Inequality No3
Сообщение23.12.2021, 16:44 


01/08/19
95
Let $a, b$ are positive real numbers such that $a+b=1$. If $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ are positive real numbers such that $x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5=1$, prove inequlity $$(ax_1+b)\cdot(ax_2+b)\cdot ...\cdot(ax_5+b)\ge1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение23.12.2021, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Можно в лоб: сначала раскрыть скобки;
Потом сообразить, что коэффициент при $a^5$ равен 1;
Что коэффициент при $a^4b$ равен $\sum\limits_{i=1}^5\frac1{x_i}\geqslant 5$ (AM-GM);
Что коэффициент при $a^3b^2$ равен $\sum\limits_{\substack{i,j=1\\i>j}}^5\frac1{x_ix_j}\geqslant 10=\binom52$ (по тем же соображениям);
...
Что коэффициент при $b^5$ равен 1.

Т.е. что все коэффициенты в разложении больше либо равны соответствующего биномиального коэффициента в разложении $(a+b)^5=1$, и требуемое неравенство следует из положительности всех переменных.

Есть ли более красивый и короткий путь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение23.12.2021, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
worm2 в сообщении #1544015 писал(а):
Есть ли более красивый и короткий путь?

:mrgreen: Коротко и красиво следует из
$$(ax_1+b)\cdot(ax_2+b)\ge(a\sqrt{x_1x_2}+b)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение23.12.2021, 23:10 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Методом Лагранжа находим условный экстремум функции в левой части неравенства при $x_1=\dots =x_5=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 10:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
TOTAL - красивый метод. Понял, как свернуть первые 4 скобки, а с пятой - что делать потом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
novichok2018 в сообщении #1544055 писал(а):
Понял, как свернуть первые 4 скобки, а с пятой - что делать потом?

Не надо сворачивать пятую скобку. И сотую скобку тоже не надо.
Неравенство означает, что наименьшее значение получается при $x_1=x_2= \dots = 1$

Если же очень хочется сворачивать, то добавляем несколько ничего не меняющих сомножителей с $x_6= x_7 = x_8= 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 10:51 
Заблокирован


16/04/18

1129
Не понял, но это не важно. Надеюсь, всем остальным понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
novichok2018 в сообщении #1544060 писал(а):
Не понял, но это не важно. Надеюсь, всем остальным понятно.

Из восьми сомножителей после попарного сворачивания получим четыре сомножителя. Потом два, потом один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 12:08 
Заблокирован


16/04/18

1129
Понял, надо добавить скобки $(a+b)$ до восьми. Так? Прямо метод Коши какой-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 12:20 


26/08/11
2057
novichok2018 в сообщении #1544060 писал(а):
Не понял, но это не важно. Надеюсь, всем остальным понятно.
Можно доказать методом мат. индукции. Сортируем переменных в порядке возрастания. При индукционном переходе от $n$ к $n+1$ членов, обединям последних двух $(x_nx_{n+1})$:

$x_1x_2\cdots x_{n-1}(x_n\cdot x_{n+1})=1$, причем $(ax_1+b)(ax_2+b)\cdots (ax_nx_{n+1}+b) \ge 1$, потому что тут $n$ переменных.

Теперь воспользуемся подсказакой TOTAL

$(ax_n+b)\cdot(ax_{n+1}+b)\ge(a\sqrt{x_nx_{n+1}}+b)^2$

что очевидно, т.к. $x_nx_{n+1} \ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение24.12.2021, 15:33 


26/08/11
2057
Нет, так не получится, нам нужно доказать $(ax_n+b)(ax_{n+1}+b) \ge (ax_nx_{n+1}+b)$

-- 24.12.2021, 15:31 --

Значит так. При индукционном переходе от $n$ к $n+1$

Если все переменные единицы, то все ясно. Иначе среди чисел существуют $u<1,v>1$. Вот их и сворачивам в одну переменную $(uv)$

И теперь надо доказать, что при $b=1-a \ge 0$ выполняется

$(au+b)(av+b) \ge (auv+b)$

Что равносильно $a(1-a)(1-u)(v-1) \ge 0$

Но это уже немножко искуствено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение25.01.2022, 09:47 


25/01/22
10
Можно использовать неравенство Гёльдера

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение25.01.2022, 11:29 
Заблокирован


16/04/18

1129
Как Гёльдером?

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality No3
Сообщение25.01.2022, 21:47 


25/01/22
10
Простите, не ту ссылку кинул
https://web.williams.edu/Mathematics/sj ... lities.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group