Complex numbers No.1

[rsoldo]

Let $p\in \mathbb{C}$ and $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ the roots of the equation $z^2-2pz+1=0$. Prove

$$\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\left|p-1\right|+\left|p+1\right|.$$

[zykov]

Vieta's formulas

[novichok2018]

Есть теорема Виета для модулей корней?

[zykov]

Для корней.
Сразу видно $z_1 z_2=1$ и $z_1+z_2=2p$.

[novichok2018]

К сумме модулей корней как перейдёте?

[zykov]

Let $z_1=w=x+i y$, then $z_2=\frac{1}{w}$.
So $|z_1|+|z_2|=|w|+\frac{1}{|w|}=\frac{|w|^2+1}{|w|}$.

Also $p=\frac12 (w+\frac{1}{w})$, so $p-1=\frac{(w-1)^2}{2w}$ and $p+1=\frac{(w+1)^2}{2w}$.

$$|(w+1)^2|+|(w-1)^2|=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2+1)=2(|w|^2+1)$$

Hence,

$$|p+1|+|p-1|=\frac{|w|^2+1}{|w|}=|z_1|+|z_2|$$