Тригонометрия

[BugsBunny]

Как можно получить $ \sin 18^{\circ} $? Само значение я знаю: $ \frac{-1 + \sqrt 5}{4} $. Похоже, что нахождение значения было сведено к решению какого-то квадратного уравнения. А какого?

Попробовал через косинус двойного аргумента, но $ \frac{\pi}{5} $ тоже не табличное значение аргумента.

Добавлено спустя 6 минут 27 секунд:

Точнее, я сглупил. Уравнение-то получить можно:

$ 2 \sin^2 \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} - \frac{1}{2} = 0 $

Но не понятно откуда его взяли.

[Someone]

Выразите $\sin 5\alpha$ через $\sin\alpha$ и подставьте $\alpha=\frac{\pi}{10}$.

[e7e5]

BugsBunny писал(а):

Как можно получить $ \sin 18^{\circ} $? Само значение я знаю: $ \frac{-1 + \sqrt 5}{4} $. Похоже, что нахождение значения было сведено к решению какого-то квадратного уравнения. А какого?

x/1=(1-x)/x или 18 градусов есть 1/2 от 36 градусов. Чтобы получить указанное вначале квадратное уровнение необходимо рассмотреть равнобедренный треугольник с углом 36 градусов при вершине, провести биссектрису угла в 72 градуса - расммотреть получившиеся два треугольника ( откуда следует указанное уравнение).

[Taras]

Нужно выражать $\cos3 \alpha $ через $ \cos\alpha$, $\alpha=pi/10$

[ИСН]

(Сколько всяких рецептов, а?) Yet another one:
Возьмите правильный пятиугольник, проведите диагонали, запишите теорему косинусов для всех получившихся треугольников во все стороны, а там уж как-нибудь.

[Echo-Off]

ИСН писал(а):

запишите теорему косинусов для всех получившихся треугольников

К сожалению, рассмотреть соотношения, полученные из теоремы косинусов, можно будет только с точки зрения отсутствия получившихся треугольников. Никаких выводов о существовании треугольников с такими сторонами из соотношения $a^2+b^2>c^2$ делать нельзя.

[ewert]

BugsBunny писал(а):

Как можно получить $ \sin 18^{\circ} $? Само значение я знаю: $ \frac{-1 + \sqrt 5}{4} $. Похоже, что нахождение значения было сведено к решению какого-то квадратного уравнения. А какого?

Попробовал через косинус двойного аргумента, но $ \frac{\pi}{5} $ тоже не табличное значение аргумента.

Добавлено спустя 6 минут 27 секунд:

Точнее, я сглупил. Уравнение-то получить можно:

$ 2 \sin^2 \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} - \frac{1}{2} = 0 $

Но не понятно откуда его взяли.

Если $\alpha=18^{\circ}$, то $\sin3\alpha=\cos2\alpha$. Уравнение для синуса получается кубическим, но один-то корень у него известен: $\sin\alpha=1$...

[TOTAL]

ewert писал(а):

Если $\alpha=18^{\circ}$, то $\sin3\alpha=\cos2\alpha$. Уравнение для синуса получается кубическим, но один-то корень у него известен: $\sin\alpha=1$...

А если $\sin2\alpha=\cos3\alpha$, то $\cos\alpha$ сразу сокращается и уравнение квадратное.