Градиент

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Имеем вертикальный цилиндр: $x^2 + y^2 =1$ или $x^2+y^2-1 =0$.
Обозначив: $F(x,y)=x^2+y^2-1 $ , могу найти градиент: $\operatorname{grad} F(x,y)=2(x \cdot \vec{i}+y \cdot \vec{j})$, это вектор, лежащий в $XOY$ и нормальный к касательной к $x^2 + y^2 =1$. Градиент указывает направление наибольшего роста функции, но в данном случае графиком функции является - цилиндр.
Помогите понять как в данном случае интерпретировать градиент и правомерно ли искать градиент для цилиндра таким образом?

Например, для параболоида $z(x,y)=x^2+y^2-1 $ , все понятно.

[lel0lel]

Уравнение поверхности и функция двух переменных это разные вещи.

[Mikhail_K]

Stensen в сообщении #1543336 писал(а):

но в данном случае графиком функции является - цилиндр.

Нет, вертикальный цилиндр вообще не является графиком никакой функции $z=f(x,y)$. Поэтому и вопрос о направлении наискорейшего роста не имеет смысла.

[worm2]

Если вы пишете "цилиндр", значит, подразумеваете ещё одну переменную, помимо $x$ и $y$, пусть будет $z$.
Цилиндр является "графиком функции" (в кавычках, потому что это не точно) $F(x, y, z)=x^2+y^2-1=0$. Градиент у этой "функции" считать преждевременно, потому что не указано, какая это "функция", что является её аргументом, а что — значением. Например, можно сказать, что это функция двух аргументов: $x$ и $z$, а $y$ будет её значением. Разобравшись с неоднозначностью (одной и той же паре $(x, z)$ будут соответствовать два значения $y$, хотя и это тоже не точно), уже можно называть "функцию" функцией без кавычек и приступать к рассмотрению её градиента.

Градиентом же функции $t=F(x, y, z)$ (уже настоящей функции от трёх аргументов) является $(2x, 2y, 0)$. Ничего особо интересного.

[Stensen]

Спасибо, вникаю