О разрешимости теории вещественных чисел

[AGu]

Пусть ${\mathcal R}$ -- классическая модель упорядоченного поля вещественных чисел с экспонентой. (Имеется в виду модель в традиционном смысле, т.е. в рамках метаматематики.)

Пусть $\rho(x)$ -- формула сигнатуры $\{\in\}$, формализующая (в ZFC) утверждение о том, что $x$ является классическим упорядоченным полем вещественных чисел с экспонентой. (Т.е. $\rho(x)$ фактически повторяет конструкцию модели ${\mathcal R}$ на формальном уровне.) Расширим ZFC константой $\mathbb R$, определяемой (по Бету) формулой $\rho({\mathbb R})$.

Пусть $\Phi$ -- множество всех предложений сигнатуры $\{{+},{-},{\cdot},0,1,{<},{\exp}\}$. Положим $T({\mathcal R}) = \{\varphi\in\Phi : {\mathcal R}\vDash\varphi\}$, $T({\mathbb R}) = \{\varphi\in\Phi : {\rm ZFC}\vdash({\mathbb R}\vDash\varphi)\}$.

Известно, что (в предположении о справедливости гипотезы Шануэля) теория $T({\mathcal R})$ разрешима. Не следует ли отсюда, что теории $T({\mathcal R})$ и $T({\mathbb R})$ совпадают? Или что теория $T({\mathbb R})$ полна? Или что теория $T({\mathbb R})$ разрешима?

P.S. Чегой-то заплутал я в этих двух соснах (${\mathcal R}$ и ${\mathbb R}$), а ответ, тем не менее, хочется получить поскорее.