Найти бесконечное произведение

[marie-la]

Задание - найти бесконечное произведение $\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{n(n+1)})$
Вольфрам говорит, что там косинус получается.
Я попыталась знаменатель произведения расписать как произведение квадратов, и тогда из нечетных выделить тот самый косинус, но остаток с четными выходит очень странный.
Помогите, в какую сторону смотреть!

[zykov]

Вот в вольфрам-энциклопедии есть (под номером 7)

$$\cos x = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{4 x^2}{\pi^2(2n-1)^2}\right)$$

[marie-la]

zykov
К этому и хотела свести. А как от знаенателя $n(n+1)$ перейти к $(2n+1)^2$?

[Null]

У меня получается $\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{\varphi^2})\Gamma(\varphi^2)}$

[zykov]

Если подставить $x=\frac{\sqrt 5 \pi}{2}$:

$$\cos \frac{\sqrt 5 \pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4 (n^2-n-1)}{(2n-1)^2}=(-4) \prod_{n=2}^{\infty} \frac{4 (n^2-n-1)}{(2n-1)^2}$$

Для $\pi$ можно использовать произведение:

$$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{(2n-1)(2n+1)}$$

Тогда

$$-\frac{1}{\pi} \cos \frac{\sqrt 5 \pi}{2} = 2 \left( \prod_{n=2}^{\infty} \frac{4 (n^2-n-1)}{(2n-1)^2} \right) \cdot \left( \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{4n^2} \right) = \lim_{N \to \infty} \frac{2N+1}{2} \cdot \frac{\prod_{n=2}^{N} (n^2-n-1)}{\prod_{n=2}^{N} n^2}$$

С другой стороны

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1- \frac{1}{n(n+1)}\right) = \prod_{n=2}^{\infty}\left(1- \frac{1}{n(n-1)}\right) = \prod_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n^2-n-1}{n(n-1)}\right) = \lim_{N \to \infty} N \cdot \frac{\prod_{n=2}^{N}(n^2-n-1)}{\prod_{n=2}^{N} n^2}$$

Вот и получается:

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1- \frac{1}{n(n+1)}\right) = -\frac{1}{\pi} \cos \frac{\sqrt 5 \pi}{2}$$

[marie-la]

zykov
Красота, спасибо!