Условный экстремум. Функция Лагранжа

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться в функции Лагранжа для нахождения условного экстремума функции многих переменных. Для упрощения рассмотрим функцию двух переменных $z=f(x,y)$ и условия $F(x,y)=0$. Строим функцию Лагранжа (ФЛ): $L(x,y)=f(x,y)+\lambda F(x,y)$, ищем стационарные (критические) точки, решаем систему (необходимое условие):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial L}{\partial x}=0 \\ \\ \frac{\partial L}{\partial y}=0 \\ \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0 \end{array} \right.$$

Утверждается, что стационарные точки для $f(x,y) $ и $L(x,y)$ совпадают, не буду спорить.
Помогите понять содержательный смысл ФЛ. Если $F(x,y)=0$ и только такие точки рассматриваем для поиска стационарных, то как влияют искомые $\lambda$ на получаемый результат, ведь всегда $F(x,y)=0$?

[zykov]

градиент $F$ перпендикулярен поверхности $F=0$

-- 15.12.2021, 12:56 --

Суть такая, что если есть условный экустермум, то градиент $f$ не может иметь компонента вдоль поверхности.
Только может иметь компонент перпендикулярно поверхности, т.е. коллинеарно перпендикуляру.
$\lambda$ - коэффициент коллинеарности.

[Stensen]

zykov в сообщении #1543020 писал(а):

градиент $F$ перпендикулярен поверхности $F=0$. Если есть условный экстермум, то градиент $f$ не может иметь компонента вдоль поверхности. Только может иметь компонент перпендикулярно поверхности, т.е. коллинеарно перпендикуляру. $\lambda$ - коэффициент коллинеарности.

Спасибо, вроде начала загружаться мысль, обдумаю.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

как влияют искомые $\lambda$ на получаемый результат, ведь всегда $F(x,y)=0$?

Не совсем понятен вопрос. Про какой получаемый результат идёт речь? На допустимых точках функция Лагранжа совпадает с исходной функцией. И что? Задачи получаются разные. Исходную функцию рассматриваем при ограничениях. Функцию Лагранжа без ограничений.

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1543028 писал(а):

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

как влияют искомые $\lambda$ на получаемый результат, ведь всегда $F(x,y)=0$?

Не совсем понятен вопрос. Про какой получаемый результат идёт речь? На допустимых точках функция Лагранжа совпадает с исходной функцией. И что? Задачи получаются разные. Исходную функцию рассматриваем при ограничениях. Функцию Лагранжа без ограничений.

Вопрос состоял в следующем. Мне не понятно, на что влияет изменение $\lambda_i$ в ФЛ ?
Т.к. на допустимых точках, для $\forall \lambda_i : \, \sum\limits_{i} \lambda_i F_i (x,y)=0$, то изменение $\lambda_i$ не изменяет $L=f(x,y)+ \sum\limits_{i} \lambda_i F_i (x,y)$ ? Другими словами, мне не понятно, почему мсье Лагранж с помощью именно такой функции ищет условный экстремум, а не системой :


$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0 \\ \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0 \\ \\ F_i(x,y)=0, \, \, i=1,... \\ \end{array} \right.$

Может какую литературу посоветуете, где "на пальцах" расписано.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1543033 писал(а):

Вопрос состоял в следующем. Мне не понятно, на что влияет изменение $\lambda_i$ в ФЛ ?
Т.к. на допустимых точках, для $\forall \lambda_i : \, \sum\limits_{i} \lambda_i F_i (x,y)=0$, то изменение $\lambda_i$ не изменяет $L=f(x,y)+ \sum\limits_{i} \lambda_i F_i (x,y)$ ?

На допустимых точках не изменяет, а на недопустимых изменяет.

-- Ср дек 15, 2021 15:56:57 --

Stensen в сообщении #1543033 писал(а):

Другими словами, мне не понятно, почему мсье Лагранж с помощью именно такой функции ищет условный экстремум, а не системой :

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0 \\ \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0 \\ \\ F_i(x,y)=0, \, \, i=1,... \\ \end{array} \right.$

Тут будет уместно рассмотреть какой-нибудь простенький пример.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

Утверждается, что стационарные точки для $f(x,y) $ и $L(x,y)$ совпадают, не буду спорить.

А почему бы и не поспорить?

-- Ср дек 15, 2021 19:04:27 --

мат-ламер в сообщении #1543034 писал(а):

Тут будет уместно рассмотреть какой-нибудь простенький пример.

Рассмотрите пример. Найти минимум функции $f(x,y)=x+y$ при условии $x^2+y^2=1$ .

[Someone]

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

Утверждается, что стационарные точки для $f(x,y) $ и $L(x,y)$ совпадают, не буду спорить.

С чего бы им совпадать?

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

Помогите понять содержательный смысл ФЛ. Если $F(x,y)=0$ и только такие точки рассматриваем для поиска стационарных, то как влияют искомые $\lambda$ на получаемый результат, ведь всегда $F(x,y)=0$?

Функция Лагранжа выбирается так, чтобы в её стационарных точках автоматически выполнялись ограничения. На искомые экстремумы эта добавка влиять не должна, но она должна влиять на частные производные. Значения множителей Лагранжа получаются такими, чтобы в точках условных экстремумов частные производные обращались в $0$. (Предполагаем, что все нужные функции имеют непрерывные частные производные.)

[Stensen]

Someone в сообщении #1543051 писал(а):

Stensen в сообщении #1543013 писал(а):

Утверждается, что стационарные точки для $f(x,y) $ и $L(x,y)$ совпадают, не буду спорить.

С чего бы им совпадать?

Согласен, погорячился. Совпадают "условные" стационарные точки для $\left\lbrace z=f(x,y), \, F(x,y)=0\right\rbrace $ и для $ L(x,y)$.

мат-ламер в сообщении #1543050 писал(а):

Рассмотрите пример. Найти минимум функции $f(x,y)=x+y$ при условии $x^2+y^2=1$ .

Решая способом

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0 \\ \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0 \\ \\ F_i(x,y)=0, \, \, i=1,... \\ \end{array} \right.$

действительно ничего не получится, в общем случае решений нет. Решая методом Лагранжа, получим две точки $ (x,y,\lambda)$ :
$ M_1=(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $ M_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, это координаты пересечения плоскости $z(x,y)=x+y$ и кругового цилиндра $x^2+y^2=1$. Из геометрии легко понять, что $M_1$ - минимум, $M_2$ - максимум. Геометрический смысл вижу в коллинеарности градиентов в этих точках $\operatorname{grad} z(x,y)=(\frac{\partial z}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial z}{\partial y} \vec{j}) $ и $\operatorname{grad} F(x,y)=(\frac{\partial F}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial F}{\partial y} \vec{j}) $, $\operatorname{grad} z(x,y) = \lambda\operatorname{grad} F(x,y)$.
Вроде так?

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1543053 писал(а):

Вроде так?

В общем так. А в частности

Stensen в сообщении #1543053 писал(а):

это координаты пересечения плоскости $z(x,y)=x+y$ и кругового цилиндра $x^2+y^2=1$

Вроде пересечение плоскости и цилиндра есть эллипс. Хотя я может вас не понял.

-- Ср дек 15, 2021 22:27:10 --

Stensen в сообщении #1543033 писал(а):

Может какую литературу посоветуете, где "на пальцах" расписано.

На счёт "на пальцах" не знаю. Но может у вас есть любимые учебники матанализа? Или учебники по методам оптимизации? Ищите там.

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1543071 писал(а):

Stensen в сообщении #1543053 писал(а):

это координаты пересечения плоскости $z(x,y)=x+y$ и кругового цилиндра $x^2+y^2=1$

Вроде пересечение плоскости и цилиндра есть эллипс. Хотя я может вас не понял.

Да, я не корректно выразился. Я имел в виду, что в пересечении наклонной плоскости и вертикального цилиндра - наклонный эллипс, верхняя крайняя точка - это макс, нижняя - мин.
Вроде стало понятно. Всем спасибо.

[Евгений Машеров]

Самый простой содержательный смысл - экономический.
Пусть $f(x,y)$ прибыль от проекта с параметрами x и y (ну, скажем, площадь и число работников), в зависимости от выбора которых потребуется некий капитал $k(x,y)$, а у нас в распоряжении всего K долларов. Вводим функцию $F(x,y)=K-k(x,y)$, которая в наилучшем решении должна стать равной нулю (освоили все средства и не вышли из бюджета). Тут, правда, в реальной экономике более осмыслено неравенство, но если обе функции, $f(x,y)$ и $k(x,y)$ монотонно возрастают по х, у, то в оптимальном решении равенство.
И мы рассматриваем вариант, когда можно занять в банке под процент $\lambda$ (реально мы брать под процент не желаем, хотим вписаться в имеющийся капитал, но рассмотреть можем). И подбираем такое значение процента, чтобы прибыль с учётом процентов банку была бы максимальна.