Осталось доказать, что каждое число "вычеркнуто" ровно один раз.
Ну первым делом я бы сказал, что, очевидно, если что-то и могло совпасть, то эти значения должны находиться в сериях типа

и

или

и

(то есть в основании разные степени одного и того же числа).
Рассмотрим всевозможные серии с основанием

, для остальных серий рассуждения абсолютно аналогичные. (мне так удобнее рассуждать)
Заметим, что в основании серии может стоять только

в нечётной степени

. Действительно,

в любой чётной степени - какой-то полный квадрат (

), следовательно он будет получен в какой-то из серий.
Дальше можно опереться на основную теорему арифметики и сказать, что для каких-то серий вида

и

, где

и

- произвольные различные нечётные числа, разложения на множители, очевидно, будет разным при любых значениях

и

(случай, если

и

взаимно простые совсем понятен, но если условно

, то в принципе тоже ясно, что разложения будут представлять из себя двойки в разных степенях)
Ну и из этого всего следует, что ни при каких значениях в двух сериях с основанием

числа совпасть не могут (эти рассуждения работают для любого другого основания), следовательно в принципе совпадений быть не может.
Нормальное доказательство или лажа?