Оператор Лапласа

[Draeden]

Допустим есть дифф. уравнение:

$z''-2hz'+w^2z=0$
$z(0)=0,z'(0)=1$

его можно записать в виде

$(p^2-2hp+w^2)z=0$

где $p$ - "оператор дифференцирования" ( я слабо представляю, что это )
Можно ли найти оператор, обратный к $p^2-2hp+w^2$ ?

[zoo]

Draeden писал(а):

Допустим есть дифф. уравнение:

$z''-2hz'+w^2z=0$

его можно записать в виде

$(p^2-2hp+w^2)z=0$

где $p$ - "оператор дифференцирования" ( я слабо представляю, что это )
Можно ли найти оператор, обратный к $p^2-2hp+w^2$ ?

Вы опять не в состоянии внятно сформулировать задачу: что такое w что такое h ? это константы функции переменная независимая или эти букафки Вам просто нравяца больше оcтальных?

[ewert]

Draeden писал(а):

Допустим есть дифф. уравнение:

$z''-2hz'+w^2z=0$

его можно записать в виде

$(p^2-2hp+w^2)z=0$

где $p$ - "оператор дифференцирования" ( я слабо представляю, что это )
Можно ли найти оператор, обратный к $p^2-2hp+w^2$ ?

Нет, нельзя. Для дифференциального оператора надо обязательно задавать область определения. Которая, помимо банальной гладкости (даже не принципиально, в каком смысле) обычно включает в себя какие-нибудь начальные или граничные условия. А от этого существенно зависит ответ.

---------------------------------
Пыс. И, кстати, этот оператор -- никакого не Лапласа.

[Taras]

Цитата:

$p$ - "оператор дифференцирования" ( я слабо представляю, что это Smile )

Я слабо представляю, как ето можно слабо представлять.

Функция $p$ действует на множестве дифференцируемых функций, сопоставляя каждой функции её производную.От и все.
$p^2$ - cопоставляет каждой функции её вторую производную, но в етом случае она действует на множестве дважды диф. функций.

[Narn]

1) Почему тема называется "оператор Лапласа", если речь (судя по всему) о преобразовании Лапласа

2) Вы помните, что такое линейный оператор в линейной алгебре? Каждой дифференцируемой функции $f$ поставим в соответствие ее произодную $f'$. Получается отображение из одного функционального пространства в другое, которое можно обозначить $p$. Это отображение линейно. Конкретный выбор пространства осуществляется по разному. А оператор можно задавать не на всем пространстве, а на некоторм его подпространстсве (не обязательно замкнутом). Например, можно взять $L_2[0,1]$ и в нем подпространство дифф. функций, или $C^1[0,1]$, или еще что-нибудь.

3) У Вас, кажется, речь идет о преобразовании Лапласа. Можно почитать Колмогорова, Фомина, Элементы теории функций и функционального анализа (глава 8, параграф 6 по изд. 1989) или пои скать по словам "операционное исчисление", "операторный метод". Суть в том, что ДУ для $z$ сводят к алгебраическому уравнению для другой функции - преобразования Лапласа $z$. Алгебраическое уравнение решить легко, но для нахождения $z$ придется применять обратное преобразование. Но если Вы слабо представляете себе, что значит "оператор дифференцирования", то лучше начать с чтения того же Колмогорова-Фомина.

[ewert]

Narn писал(а):

А оператор можно задавать не на всем пространстве, а на некоторм его подпространстсве (не обязательно замкнутом).

На обязательно незамкнутом! (в данном случае)

[Narn]

ewert писал(а):

Narn писал(а):

А оператор можно задавать не на всем пространстве, а на некоторм его подпространстсве (не обязательно замкнутом).

На обязательно незамкнутом! (в данном случае)

Да, конечно. Это уже инерция...

[Draeden]

гхым... всё не так просто как казалось

Если рассматривать $z \in C^2(D), \quad D \in \mathbb{D}^1(\mathbb{R})$ ( открытое односвязное подмножество $\mathbb{R}$ ), то можно обратить оператор ?

[ewert]

Ну хорошо, подойдём к делу формально. Оператор $A$ обратим, если уравнение $Az=0$ не имеет нетривиальных решений. Раз никаких доп. условий не наложено -- нетривиальные решения тривиальным образом существуют. Следовательно, не существует обратного оператора.

[Draeden]

Вы о значения производных ?
Пусть $z(0)=0, \quad z'(0)=1$.

[ewert]

Draeden писал(а):

Вы о значения производных ?
Пусть $z(0)=0, \quad z'(0)=1$.

Ну тогда обратный оператор, конечно, существует (как оператор решения задачи Коши) и выписывается совершенно стандартными формулами. Раз уж у нас уравнение с постоянными коэффициентами.

[Draeden]

Так я что хочу: найти этот обратный оператор, а потом им подействовать на правую часть выражения - чтоб ответ получить. Можно ли так сделать ?

[ewert]

Draeden писал(а):

Так я что хочу: найти этот обратный оператор, а потом им подействовать на правую часть выражения - чтоб ответ получить. Можно ли так сделать ?

Можно вообще-то всё, что не запрещено. Однако: в чём конкретно задача-то?

[Draeden]

Я хочу сделать примерно следующее: дано уравнение вроде $y'''-3y''+2y'-7y=f$, я его записываю в виде $L(p)y=f, \quad L(p)=p^3-3p^2+2p-7$, затем подставляю вместо $f$ какую нибудь жуть и нахожу решение в виде $L^{-1}f$

[ewert]

Draeden писал(а):

Я хочу сделать примерно следующее: дано уравнение вроде $y'''-3y''+2y'-7y=f$, я его записываю в виде $L(p)y=f, \quad L(p)=p^3-3p^2+2p-7$, затем подставляю вместо $f$ какую нибудь жуть и нахожу решение в виде $L^{-1}f$

Добавьте к этому ДУ начальные условия -- и задача станет корректной. Наиболее формализованное её решение -- через преобразование Лапласа (уфф, наконец-то я понял, при чём тут Лаплас). Формальное выражение для решения з0адачи (т.е. собссно для обратного оператора) -- формула Меллина. Однако она абстрактна. И на практике обычно удобнее пользоваться другими приёмами. Т.к. правая часть обычно имеет более-менее стандартный вид.