Минимум супермартингалов

[marie-la]

Задача: Пусть $X_t,t\geq0, Y_t,t\geq0$ - супермартингалы относительно одной фильтрации. Доказать что $\min(X_t,Y_t)$ - тоже супермартингал относительно той же фильтрациии.
Я пытаюсь как-то неравенство Йенсена применить, но тут выходит $\frac{x+y-|x-y|}{2}$, и разность - это плохое выражение, в нем ведь разные знаки. Если мартингалы, вроде выходит, но в условии супермартингалы. Может, вообще в условии ошибка?

[--mS--]

$\min(X_t,Y_t) \leqslant X_t$, следовательно

$$ \mathsf E\left(\min(X_t,Y_t) \mid \mathcal F_s\right)\leqslant \mathsf E\left(X_t \mid \mathcal F_s\right)\leqslant X_s \quad \forall s\leqslant t. $$

Точно так же
$\min(X_t,Y_t) \leqslant Y_t$, следовательно

$$ \mathsf E\left(\min(X_t,Y_t) \mid \mathcal F_s\right)\leqslant \mathsf E\left(Y_t \mid \mathcal F_s\right)\leqslant Y_s \quad \forall s\leqslant t. $$

Поэтому

$$ \mathsf E\left(\min(X_t,Y_t) \mid \mathcal F_s\right)\leqslant \min(X_s,Y_s) \quad \forall s\leqslant t. $$

[marie-la]

--mS--
О, спасибо большое!

[--mS--]

Кстати, отсюда же следует, что если бы оба процесса были мартингалами, минимум был бы супермартингалом.