Простые среди составных уменьшенных на единицу

[kthxbye]

Имеем последовательность A014689, такую, что

$$a(n)=\operatorname{prime}(n)-n$$

где $\operatorname{prime}(n)$ это $n$-ное простое число.

Далее шаманим по любимым последовательностям в поисках формулы для бесконечной подпоследовательности простых и в крайнем упадке настроения интересуемся последовательностью

$$b(n)=n\cdot\operatorname{isprime}(\operatorname{composite}(n)-1)$$

где

$$\operatorname{isprime}(n)=\begin{cases} 1,&\text{если $n$ - простое}\\ 0,&\text{в противном случае} \end{cases}$$

и $\operatorname{composite}(n)$ это $n$-ное составное число (первое - четверка).

Смотрим на ненулевые члены $b(n)$ и видим $a(n)$. Мистика?

Кто хочет побаловаться, вот код на pari:

a3(n)=for(k=0, primepi(n), isprime(n++)&&k--); n
for(i=100000,100255,print(isprime(a3(prime(i)-i)-1)))

[lel0lel]

kthxbye в сообщении #1542355 писал(а):

Мистика?

Это очевидно. Сумма порядкового номера составного, перед которым идёт простое, и порядкового номера этого простого равна самому простому числу. Ибо есть только простые и составные, и единица.

[kthxbye]

lel0lel, благодарю! Как мне объяснили, это работает для любых комплементарных последовательностей.

[waxtep]

Или так: $a_{n+1} -a_n$, как и разность соседних ненулевых членов последовательности $b_n$ равна количеству (составных) чисел, расположенных между $p_n$ и $p_{n+1}$