Найти определитель (задачник Ким 7.69)

[artempalkin]

Нужно найти вот такой определитель

$$\begin{vmatrix} x& 1&0&0&\cdots &0 & 0\\ n-1&x&2&0&\cdots &0 & 0\\ 0&n-2&x&3&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\ 0&0&0&0&\cdots&x&n-1\\ 0&0&0&0&\cdots&1&x \end{vmatrix}$$

Но что-то у меня не получается.

Можно составить рекуррентную формулу: $D_{n-k+1}=xD_{n-k}-k(n-k)D_{n-k-1}$, но что-то какая-то очень сложная эта формула и я не понимаю, как ее раскрыть. Притом я очень хорошо помню, что в свое время решал эту задача, но не могу вспомнить, как. Подскажите, пожалуйста!

-- 09.12.2021, 21:31 --

Можно также заметить, что сумма элементов в каждом столбце одинакова, прибавить все строки к первой и вынести $x+n-1$ и получить строку из единиц, но тоже как это дальше использоваться ясности нет

[Sinoid]

artempalkin в сообщении #1542245 писал(а):

Можно составить рекуррентную формулу: $D_{n-k+1}=xD_{n-k}-k(n-k)D_{n-k-1}$

Теперь посчитайте такой определители второго, третьего, если нужно, четвертого порядков, выявите в них закономерность и распространите ее с помощью найденной рекуррентной формулы на общий случай.

-- 09.12.2021, 23:11 --

Это как возможный вариант решения.

[svv]

В Проскурякове это задача 399*. Указание: к каждой строке прибавить все следующие, из каждого столбца вычесть предыдущий.