Задача по мат. логике

[Vlad.ika]

Какова мощьность базисов в $R^n$?
Ясно что континиум, но для доказательсва нужно построить функцию, но какую?

[Narn]

Можно через матрицы перехода. Вы же знаете теорему Кантора-Бернштейна?

[Vlad.ika]

нужно добавить, что функция 1-1 и "на"

[Narn]

Не понял. Вам нужно доказать, что базисов континуум любым способом или построить биекцию между множеством базисов и R в явном виде? Первое- очень легко, второе - не знаю.

[Vlad.ika]

изначально предпологалось, что мы сами должны найти мощность и обосновать, любым методом.
А как показать что $R^n<=c$

[Narn]

Это стандартный трюк. Докажем, что $card (0,1)^2 \le card (0,1)$.

Пусть $(a,b)$ - точка квадрата. Запишем $a,b$ в виде бесконечной десятичной дроби (запретив 9 в периоде) $a=0,a_1a_2a_3...$, $b=0,b_1b_2b_3...$.

Сопоставим этой точке число $0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3...$.

Построена инъекция из квадрата в интервал.

[Vlad.ika]

А что такое $card (0,1)$.
Большое спасибо!!

[Narn]

Одно из обозначений мощности множества (от cardinal). Например, запись

Vlad.ika писал(а):

$R^n<=c$

некорректна (слева стоит множество, а справа мощность), нужно писать
$card R^n<=c$
или
$\# R^n<=c$
$| R^n|<=c$

Я чаще два последних обозначения видел лишь для конечных множеств. Но тут нужно специалистов спрашивать.

[Vlad.ika]

Большое спасибо!!!
Пойду решать