Если рассмотреть функцию

, т.е. среднее арифметическое для

,

и

, то надо решить уравнение

.
Уравнение

идеет ровно два корня (

и

) и это тоже будут корни исходного.
Рассмотрим последовательность

, такую что

- некоторое число более 0 и

.
Если доказать, что для любого такого

последовательность сходится к

, то из этого будет следовать что для положительных

неравных

должно быть

.
Т.к. иначе был бы бесконечный цикл и последовательность не сошлась бы.
Насчёт сходимости можно посмотреть
Fixed-point iteration про Lipschitz continuity.
(Или самостоятельно по кускам рассмотреть

. Для малых даст большой результат, для больших даст сжатие в 3 раза, около

можно в ряд разложить и получить сходимость как квадратный корень от количества итераций.)