2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение05.12.2021, 14:58 


05/12/21
4
Добрый день всем, проблема такая, есть не эрмитовый оператор, для него есть граничные условия, кроме того, известны его точные с.ф -- функции Бесселя комплексного аргумента. Хочу составить матрицу данного оператора, найти спектр и собственные функции, и сравнить с точным решением, только есть проблема, ни метод конечных разностей (из-за сложности выражения для производной комплексной функции), ни метод Галёркина( матрица должна быть эрмитовой) не работает. В связи с чем вопрос, где можно почитать об именно численных методах решения задачи Штурма-Лиувилля для не эрмитового оператора, есть ли вообще такие методы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение05.12.2021, 15:14 


20/04/10
1776
Выбрать любой, подходящий под граничные условия, полный ортонормированный базис и записать матрицу оператора в этом базисе, ограничившись конечным числом векторов. Искать спектр получившейся матрицы в выбранном представлении. Методы можно посмотреть здесь Wikipedia

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение06.12.2021, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Скорее всего я сильно не в теме и вообще не понимаю, о чём вопрос. Возможно задам глупый вопрос и прошу не кидаться в меня тапками. Вопрос про собственные функции. Они даны?
somnus calculator в сообщении #1541731 писал(а):
известны его точные с.ф

или их нужно найти?
somnus calculator в сообщении #1541731 писал(а):
Хочу ... найти ... собственные функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение06.12.2021, 13:19 


05/12/21
4
Решение можно найти аналитически, задача же состоит в том, чтобы найти те же функции численно, для этого надо построить матрицу оператора и найти собственные векторы и собственные значения. После сравнить с правильным ответом для известных(аналитическое решение) собственных векторов и чисел. Мне нужно выбрать базис так, чтобы после действия оператора и интегрирования (условие минимума функционала), я мог получить аналитическое общее выражение для элементов матрицы, как его выбрать, я пока не знаю. В связи с чем вопрос, есть ли построенная теория для не эрмитовых операторов или эта область математики пока вообще не развита. Я слышал, что есть не эрмитовая квантовая механика, значит и мат аппарат должен быть какой-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение06.12.2021, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
somnus calculator, если под не эрмитовым оператором Вы имеете в виду несамосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, то приведите конкретный класс операторов, возникающий в Вашей задаче. Несамосопряженных операторов много и к разным их классам подход будет существенно разниться (вплоть до отсутствия подходящей теории).

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение07.12.2021, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Рискну предположить, что задачу можно как-то решить следующим образом. Сначала задачу нужно как-то дискретизировать. Допустим, аппроксимировать собственные функции сплайнами. Тем самым задача сведётся к конечномерной и возникает задача поиска собственных чисел и собственных векторов неэрмитовой матрицы. И такие методы наверняка в вычислительной линейной алгебре есть. Смотрите, например, Икрамов Х.Д. "Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Не эрмитовый оператор: какой численный метод использовать?
Сообщение07.12.2021, 11:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
somnus calculator в сообщении #1541731 писал(а):
(из-за сложности выражения для производной комплексной функции)?
Это как понять?
Может Вы приведете здесь сам оператор, чтоб было понятно о чем идет речь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group