Pyramid and a sum of angles

[ins-]

For a triangle pyramid $ABCO$ is known that $\angle{AOB}+\angle{BOC}+\angle{COA}>180\displaystyle ^\circ$
Prove that all of the segments $OA$, $OB$, $OC$ have a length less than the semi-perimeter of the triangle $ABC$.

[TOTAL]

Боковую поверхность пирамиды, разрезав по ребру, укладываем на ровный стол. И легко видим ответ.

[ins-]

Thank you for the excellent idea! Hope you like the problem. It is from Bulgarian MO 2006-th - first round.

[ins-]

Indeed after cutting the pyramid and putting it on a plane the following steps are not obvious. When you have time - please provide more details.

[svv]

Если неочевидно, что $AB+BC+CA_1>AO+OA_1$, тогда сделайте ещё один разрез $OB$ и поверните треугольник $AOB$ вокруг точки $O$ по часовой стрелке так, чтобы угол $A'OA_1$ был развёрнутым. Тогда $A'B'+BC+CA_1>A'A_1=2OA$.

[TOTAL]

Красное - основание (периметр) многогранной пирамиды с вершиной $B$.
Синее - два края разрезанного ребра.

Красное $AM$ больше сине-желтого $AB+BM$.
Желто-красное $BM+MC$ больше синего $BC$.
Складывая, получаем, что синее короче красного.

[ins-]

svv в сообщении #1542260 писал(а):

Тогда $A'B'+BC+CA_1>A'A_1$.

Why is this inequality correct? Are you use some inequalities between the triangle sides?

I think from what was written by TOTAL I finally understand a solution. (I've seen 3 ideas to solve the problem.)

What is on the picture is surrounding surface after cut on one of the edges OA, OB, OC and put on a plane. The condition $\angle{AOB}+\angle{BOC}+\angle{COA}>180^\circ$ is used when the surface is unfolded on the plane to say $\angle{ABC}>180^\circ$.

"Красное $AM$ больше сине-желтого $AB+BM$" the reasoning can be multiple (3) times applying an inequality between the triangle's sides.

* $AM > AB + BM$

"Синее - два края разрезанного ребра." - because we are cutting on an edge and unfolding - on the picture $AB=BC$.

"Желто-красное $BM+MC$ больше синего $BC$." - because of the triangle $BMC$ and many (2) times applying the triangle inequality for the red segments we have $BM+MC >BC$. (The sum of two sides in a triangle is always greater than the third side).

** $BM+MC>BC$

"Складывая, получаем, что синее короче красного" - Summing * and ** we have:

$AM (red) + BM + MC > AB + BM + BC$
$AM (red) + MC (red) > AB + BC$
triangle's perimeter $> 2 AB = 2AO$
$P > 2AO$
The desired result.

Looks like it is one of the most obvious not obvious problems.

[TOTAL]

ins- в сообщении #1542316 писал(а):

"Красное $AM$ больше сине-желтого $AB+BM$" the reasoning can be multiple (3) times applying an inequality between the triangle's sides.

"Желто-красное $BM+MC$ больше синего $BC$." - because of the triangle $BMC$ and many (2) times applying the triangle inequality for the red segments we have $BM+MC >BC$. (The sum of two sides in a triangle is always greater than the third side).

Оба неравенства означают, что прямая линия между двумя точками короче любой другой линии. Не надо никаких "many multiple times"

[ins-]

TOTAL в сообщении #1542318 писал(а):

Оба неравенства означают, что прямая линия между двумя точками короче любой другой линии. Не надо никаких "many multiple times"

You are right. The reason for "many/multiple times" is I haven't seen "прямая линия между двумя точками короче любой другой линии" as a separate statement in a no low to a middle level Bulgarian book or a textbook. Because of this many/multiple times triangle inequality can be used to prove: "прямая линия между двумя точками короче любой другой линии" - a very useful statement for some problems.

There is one more approach I cannot understand. If you are interested can take a look at the address below.
The third approach