2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 сингулярное разложение преобразования
Сообщение14.06.2008, 18:03 
Аватара пользователя
Дано преобразование, заданное в ортонормированном базисе матрицей
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\sqrt 2 } & 1  \\
   0 & {\sqrt 2 }  \\

 \end{array} } \right)
\]
Получить сингулярное разложение этого преобразования.

Что такое сингулярное разложение знаю, но не знаю последовательность действий, чтобы придти к разложению.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 18:48 
Аватара пользователя
Вы ищете разложение в виде $A=USV$, где $S$ - диагональная матрица из квадратных корней собственных чисел $AA^T$, верно? Или сингулярное разложение - это что-то другое?

Я бы начал с определения вида матрицы $S$.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:01 
Бодигрим писал(а):
Вы ищете разложение в виде $A=USV$, где $S$ - диагональная матрица из квадратных корней собственных чисел $AA^T$, верно? Или сингулярное разложение - это что-то другое?

Именно это. И более того: столбцы $U$ суть ортонормированные собственные вектора матрицы $AA^T$, в то время как строки $V$ -- это ортонормированный собственный базис для $A^TA$.

Вот, собственно, и алгоритм.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:04 
Аватара пользователя
Ну, вот вам уже все и рассказали. Думаю, с нахождением собственных векторов и чисел проблем нет?

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:11 
Аватара пользователя
Так, значит нужно найти собственные векторы \[AA^T \], ортонормировать и записать в столбцы - получим U, а корни квадратные из собственных чисел записать на диагональ и получим S.Затем найти собственные векторы \[A^T A\], ортонормировать и записать в строки - получим V.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:14 
ShMaxG писал(а):
Так, значит нужно найти собственные векторы \[AA^T \], ортонормировать и записать в столбцы - получим U, а корни квадратные из собственных чисел записать на диагональ и получим S.Затем найти собственные векторы \[A^T A\], ортонормировать и записать в строки - получим V.

Не совсем так. Выбор ортонормированного собственного базиса всё же неоднозначен. Надо найти одну из матриц -- $U$ или $V$ -- а вторую найти просто делением $A$ на всё остальное.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:19 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
делением $A$ на всё остальное.


что это значит?

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 19:29 
Аватара пользователя
Вы решаете матричное уравнение $A=USV$ относительно $V$ при уже определенных $U$ и $S$, а $A$ - известно по условию.

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Вы находите _произвольную_ систему ортонормированных собственных векторов, составляете из них матрицу $U$. Затем записываете в соответствующем порядке их собственные числа в матрицу $S$. Затем находите $V$, разрешая матричное уравнение.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 20:00 
Аватара пользователя
Во, вот теперь понятно. Спасибо, ребят. Сейчас попробую решить.

Добавлено спустя 22 минуты 15 секунд:

С ответом сошлось.

И еще вопрос, что если дана матрица А размеров \[m \times n\]?

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 20:02 
Точно так же. Только матрицы $U$ и $V$ будут разных размеров.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 20:34 
Аватара пользователя
А, да, вы правы. Спасибо.

Добавлено спустя 26 минут 59 секунд:

А, вот еще вопрос.

В полярном разложении, мы приходим к \[A = QS\], где Q - ортогональная матрица, S - симметричная. Правильно ли я понял, что Q мы берем такую же как и U?
И еще. Существует ортогональная матрица Р, такая что \[D = P^{ - 1} SP\] - диагональная матрица. Как выбирается Р?

 
 
 
 
Сообщение14.06.2008, 20:43 
ShMaxG писал(а):
В полярном разложении, мы приходим к \[A = QS\], где Q - ортогональная матрица, S - симметричная. Правильно ли я понял, что Q мы берем такую же как и U?

Правильно по идее, но совершенно неправильно буквально. Сделайте ортогональное преобразование подобия матрицы $S$ (кстати, в полярном разложении она не только эрмитова, но и неотрицательная) к диагональной -- и получите ровно сингулярное разложение.

Цитата:
И еще. Существует ортогональная матрица Р, такая что \[D = P^{ - 1} SP\] - диагональная матрица. Как выбирается Р?

Из ортонормированных собственных столбцов (или строк -- мне всегда было лень об этом думать) матрицы $S$.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group