Вопрос по критерию согласия Пирсона (хи-квадрат)

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1542296 писал(а):

Как учебная или как прикладная?

Да любая.

[Евгений Машеров]

Ну, тут разница - в случае учебной надо делать то, чего захотела левая нога преподавателя. Объяснять, как на самом деле правильно надо было - только сделав "по методичке", и то не всякому преподавателю.
А для реальной задачи лучше бы поискать адекватный метод. Скажем, если предполагается логнормальное распределение, то, оценив его параметры по выборке, легко получим моду.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1542320 писал(а):

если предполагается логнормальное распределение, то, оценив его параметры по выборке, легко получим моду.

Легко получить моду при интервальном представлении вариационного ряда можно без каких-либо предположений.

[Евгений Машеров]

При интервальном представлении мы получим не моду, а модальный интервал, к которому предположительно принадлежит мода. Но это неточно. Можно через три соседних интервала провести параболу и надеяться, что её максимум даст нам моду. Но и это неточно.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1542603 писал(а):

Но и это неточно.

Любой параметр распределения по случайной выборке находится приблизительно.

[Евгений Машеров]

Я имею в виду, скажем, такой пример. Пусть у нас дискретная (целочисленная, для определённости) величина, то есть для неё понятие моды выборки определено однозначно. Группировка, скажем, по 10 значений в интервале. При этом каждое возможное значение встречается единожды, за исключением одного, которое трижды повторяется, и двух - по два раза. Если эти два значения в одном интервале - он модальный. Хотя мода, равная 3, может быть в другом интервале, притом сколь угодно далеко (скажем, у нас значения от 0 до 99, причём 0 трёхкратный, а в интервале 90-99 два значения двукратные, остальные точно по разу - истинная мода 0, а оценённая по интервалу 94.5). Наше применение моды к группированным данным опирается на неформальное предположение, что "распределение смахивает на нормальное", мономодальное, но, возможно, есть асимметрия и отличный от нормального эксцесс. Если мы не опираемся на такого рода априорную информацию - мы использовать для таких данных моду не вправе.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1542273 писал(а):

А уж если делать расчёты дисперсии и эксцесса по интервальному ряду, то нужно было бы учесть поправки Шеппарда.

Опять же - они опираются на "презумпцию почти-нормальности". Для какого-нибудь распределения арксинуса поправки на группировку и знак иной иметь будут.

[Александрович]

Поправки Шеппарда это поправки на группировку для вычисления чётных моментов для любых распределений.

[Евгений Машеров]

То, что условия применимости поправок Шеппарда в популярных пособиях не оговариваются, грустно, но неизбежно. Но они есть, и довольно жёсткие. Могу выслать статью Кендалла 1938 года.
А могу поделиться вычислительным экспериментом.
Берём арксинус-распределение, разбиваем область на 10 интервалов, получаем оценку дисперсии 0.117650351 вместо теоретической 0.125. Вводим поправку Шеппарда, как она обычно задаётся, получаем 0.096817018.
Или рост ошибки с 5.88% до 22.55%

[_hum_]

F111mon в сообщении #1541465 писал(а):

Добрый день, проясните, пожалуйста, ситуацию, возникающую при применении критерия согласия Пирсона.
Смысл его в том, что для проверки гипотезы "случайная величина имеет тип распределения ____" мы:
1) разбиваем выборку на несколько интервалов

Не выборку разбиваем на интервалы, а область значений рассматриваемой с.в. В этом случае ничто не мешает вам, если вы изначально подозреваете, что она может давать сколь угодно большие значения, разбить всю числовую прямую и не иметь проблем.

Кстати, к Хи-квадрату для непрерывных распределений полезно относиться как к критерию, состоящему из двух процедур:
1) дискретизация непрерывного распределения (это как раз, когда вместо исходной непрерывной с.в. рассматривается ее дискретный аналог, принимающий значение номера интервала при попадании значения исходной величины в этот интервал);
2) проведение Хи-квадрат теста для этого дискретного распределения.