Спектр XX спиновой цепочки

[pvp]

Казалось бы, аналитическое решение для спиновой XX цепочки давно найдено, какие могут быть еще вопросы? Но вопросы есть. У меня не совпадает собственное значение энергии основного состояния, которое я посчитал точной численной диагонализацией, и значение, которое получается, если воспользоваться аналитической формулой из статьи https://arxiv.org/pdf/1812.08813.pdf .

Мой гамильтониан: $H = J\sum_i^M (X_iX_{i+1} + Y_iY_{i+1})$, где M - число спинов, M+1 спин соответствует спину 1 (замкнутая цепочка), X, Y - матрицы Паули.

Я использовал эту формулу из статьи:



Там $E_q = |\cos(q)|$,
и
$S^+ = \{q: q = -\pi + \pi (2l-1)/M, \quad l=1\dots M \}$
$S^- = \{q: q = -\pi + \pi 2l/M, \quad l=1\dots M \}$

То есть, зная, что энергии $E_q\geq 0$, я беру вакуумное состояние (без фермионов, которые описываются операторами $A_q$ )
Суммируя $E_{gr}^+ + E_{gr}^-$ каждая из которых это сумма модулей косинусов я нахожу аналитический ответ.
Например, для цепочки из M=4 спинов аналитический ответ: -4.82 в то время как численная диагонализация дает -5.65

Часто для замкнутой цепочки выбрасывают одно слагаемое (считая число узлов большим), так чтобы после Jordan-Wigner и дальнейшего Фурье все работало как для разомкнутой. Но тут в статье точная аналитика.

Может быть кто-нибудь подскажет статью (или методические материалы), где подробно расписаны аналитические формулы для спектра конечных спиновых цепочек (без термодинамики и устремления числа узлов к бесконечности)?