Решим уравнение из начального поста:

Левая часть этого уравнения --- это результант двух квадратных трехчленов

и

. Отсюда и проистекает следующее рассуждение.
Пусть

--- произвольное решение уравнения

в целых числах. Заметив, что

, рассмотрим рациональное число

Тогда

, а также

(прямая проверка с учетом

). Но тогда

--- целое число (как рациональный корень нормированного многочлена с целыми коэффициентами). Далее имеем

и

, откуда

, т.е.

. Осталось решить систему уравнений

относительно

,

. В итоге получим

.
Для модифицированного уравнения

можно рассуждать аналогичным образом. Здесь левая часть есть результант квадратных трехчленов

и

.
-- Вс дек 05, 2021 22:40:22 --И, на всякий случай: оба уравнения решаются с помощью метода, предложенного в статье "Метод Рунге для уравнений 4-й степени: элементарный подход" (Математическое просвещение, вып. 19, 2015).