2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение01.12.2021, 18:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Решите уравнение $y^3x-3yx^2+x^3-y^2-yx+x^2+2x+1=0$ в целых числах.

Комментарий. Выглядит не очень привлекательно, зато есть короткое решение. Приглашаются все любители этого жанра задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение01.12.2021, 22:11 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Кривая с исходным уравнением бирационально эквивалентна кривой с уравнением $w^2=u^3-u$ (Maple)
А эта кривая несет на себе (кроме $\infty$)только рациональные точки кручения $(0,0), (-1,0), (1,0)$ (Magma), что дает на исходной кривой целые точки $(x,y)=(0,\pm{1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение02.12.2021, 05:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1541295 писал(а):
Кривая с исходным уравнением бирационально эквивалентна кривой с уравнением $w^2=u^3-u$
О, какой приятный сюрприз! Вот уж чего не ожидал, так не ожидал. Про эту-то кривую мы много чего знаем. (Я просто элементарно забыл вчера вечером глянуть на форму Вейерштрасса :facepalm:) Но, ей-богу, такой ход конем явно не планировался (рациональные точки я не собирался искать, речь шла исключительно о целых точках.) В общем, есть совершенно другое решение задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение02.12.2021, 07:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1541312 писал(а):
О, какой приятный сюрприз! Вот уж чего не ожидал, так не ожидал

Действительно приятно, когда какая-то кракозябла оказывается махровой классикой.
Но такое хоть и не часто, но бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение03.12.2021, 16:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Давайте слегка подправим кракозябру: пусть будет $y^3x-3yx^2+x^3-2y^2-2yx+x^2+4x+4=0$. Задача прежняя: найти целые точки на этой кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 10:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Переходя к новым переменным $u,w$ по формулам $x=\dfrac{2w}{u^2},y=\dfrac{w+2}{u}$,
получим Вейерштрассову форму $w^2=u^3-2u$ для исходного уравнения.
Отсюда $xu^2-2uy+4=0$. Решаем его относительно $u$. Предполагая, что $u,w$ рациональные, а $x=m,y=n$ целые
вводим новое переменное $z$ так что $m=\dfrac{z^2-n^2}{4}$ и $z$ целое вместе с $x,y$.
Получая выражения для $u,w$ в переменных $n,z$ и используя Вейерштрассову форму $w^2=u^3-2u$
имеем уравнение $(n - z)^2(n + z) + 2(n + z)^2 = 16$
Факторизуя левую часть $(n+z)((n-z)^2+2(n+z))=16$
Теперь остается решить систему $n+z=a, (n-z)^2+2(n+z)=b$, где $a,b$ - целые положительные или отрицательные делители $16$
Всего систем 10 и целые решения имеются в двух случаях $n+z=2, n+z=-4$
Они соответствуют решениям исходного уравнения $(x,y)=(-2,-1), (2,-3), (-1,0), (1,2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 10:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1541691 писал(а):
Переходя к новым переменным $u,w$ по формулам $x=\dfrac{2w}{u^2},y=\dfrac{w+2}{u}$
А почему такие рациональные $u$ и $w$ найдутся?

-- Вс дек 05, 2021 15:00:18 --

scwec в сообщении #1541691 писал(а):
Они соответствуют решениям исходного уравнения $(x,y)=(-2,-1), (2,-3), (-1,0), (1,2)$
На самом деле решений 6 штук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 11:48 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1541693 писал(а):
А почему такие рациональные $u$ и $w$ найдутся?

Ну потому что ранг Вейерштрассовой формы равен $1$ и рациональные точки всюду плотны на обеих компонентах связности.
nnosipov в сообщении #1541693 писал(а):
На самом деле решений 6 штук.

Это возможно. Посмотрю

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 11:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1541698 писал(а):
Ну потому что ранг Вейерштрассовой формы равен $1$ и рациональные точки всюду плотны на обеих компонентах связности.
Не понимаю, причем здесь всюду плотность. Да и ранг тоже. Доказательством могли бы быть формулы, рационально выражающие $u$ и $w$ через $x$ и $y$, но Вы их не приводите.

-- Вс дек 05, 2021 16:10:55 --

scwec в сообщении #1541691 писал(а):
имеем уравнение $(n - z)^2(n + z) + 2(n + z)^2 = 16$
А здесь действительно только 4 решения. И где же еще 2 искать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 12:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1541699 писал(а):
Доказательством могли бы быть формулы, рационально выражающие $u$ и $w$ через $x$ и $y$, но Вы их не приводите

Формулы из Maple. Надеялся, что Вы их посмотрите там.
$-u=-\dfrac{2(-y^2 + 2x - y + 2)}{(x + 1)(x - 2)}, w=\dfrac{-2(x^2y + xy^2 - 2x^2 + 2y^2 - 6x - 4)}{(x - 2)(x + 1)x}$
nnosipov в сообщении #1541699 писал(а):
А здесь действительно только 4 решения. И где же еще 2 искать?

Есть еще уравнение $(n-z)(n+z)^2+2(n-z)^2=16$
Оно дает другие $z$, но $x,y$ те же самые.
Пока не знаю, где искать ещё 2. Ещё раз посмотрю. Кажется, какая-то простая заковыка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 12:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1541705 писал(а):
Формулы из Maple. Надеялся, что Вы их посмотрите там.
$-u=-\dfrac{2(-y^2 + 2x - y + 2)}{(x + 1)(x - 2)}, w=\dfrac{-2(x^2y + xy^2 - 2x^2 + 2y^2 - 6x - 4)}{(x - 2)(x + 1)x}$
Вот теперь все окей.

У меня идея схожая, но получается покороче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 13:39 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
А что за два решения, если всё окей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 13:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1541720 писал(а):
А что за два решения, если всё окей?
Всё окей с идеей решения. А вот с аккуратной её реализацией могут быть вопросы. Это, конечно, технические моменты, но на реальной олимпиаде за это сняли бы очки.

Я попозже напишу свое решение и объясню происхождение уравнения (оно искусственное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой-2
Сообщение05.12.2021, 18:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Решим уравнение из начального поста: $$y^3x-3yx^2+x^3-y^2-yx+x^2+2x+1=0.\eqno(*)$$Левая часть этого уравнения --- это результант двух квадратных трехчленов $t^2+xt+y$ и $t^2+yt+xy-1$. Отсюда и проистекает следующее рассуждение.

Пусть $(x,y)$ --- произвольное решение уравнения $(*)$ в целых числах. Заметив, что $x \neq y$, рассмотрим рациональное число $$t=\frac{yx-x-1}{y-x}.$$ Тогда $t^2+xt+y=0$, а также $t^2+yt+xy-1=0$ (прямая проверка с учетом $(*)$). Но тогда $t$ --- целое число (как рациональный корень нормированного многочлена с целыми коэффициентами). Далее имеем $y \equiv 0 \pmod{|t|}$ и $xy-1 \equiv 0 \pmod{|t|}$, откуда $|t|=1$, т.е. $t=\pm 1$. Осталось решить систему уравнений $$t^2+xt+y=0, \quad t^2+yt+xy-1=0$$ относительно $x$, $y$. В итоге получим $(x,y) \in \{(-1,0),(1,0)\}$.

Для модифицированного уравнения $$y^3x-3yx^2+x^3-2y^2-2yx+x^2+4x+4=0$$ можно рассуждать аналогичным образом. Здесь левая часть есть результант квадратных трехчленов $t^2+xt+y$ и $t^2+yt+xy-2$.

-- Вс дек 05, 2021 22:40:22 --

И, на всякий случай: оба уравнения решаются с помощью метода, предложенного в статье "Метод Рунге для уравнений 4-й степени: элементарный подход" (Математическое просвещение, вып. 19, 2015).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group