Получение дифференциального уравнения

[Dedekind]

Задача из Босс В. Лекции по математике: Анализ, 2004. Стр. 60.

Условие.Веревка длины $l$ перекинута через блок. В начальный момент один из свисающих концов длиннее другого на $h$. Найти $x$ в момент $t$. Трение отсутствует.
Решение автора. Вес длины $x$ равен $\rho g x$, а масса всей веревки $\rho l$, где $\rho$ - линейная плотность веревки. Тогда закон Ньютона принимает вид:

$$0.5\rho l \ddot{x} = \rho gx$$

Дальше оно тривиально решается.
Мое решение. Я рассуждал так. На опускающийся край действуют сила веса части веревки, которая свисает слева $F_g = \rho g \dfrac{l+x}{2}$ и сила натяжения $T = \rho g \dfrac{l-x}{2}$, создаваемая весом противоположного конца. Тогда по закону Ньютона для опускающегося края:

$$F_g-T=\rho l \ddot{x}$$

$$\rho g \dfrac{l+x}{2}-\rho g \dfrac{l-x}{2}=\rho l \ddot{x}$$

$$\rho g x=\rho l \ddot{x}$$

Вопрос. Что я делаю не так, где потерялся множитель 0.5?

[svv]

Рассмотрим, какие моменты сил действуют на блок относительно оси:
$T_1r$ со стороны левой верёвки (так для краткости назовём свисающий конец),
$-T_2r$ со стороны правой верёвки,
и нулевой момент со стороны оси.
Тут $T_1,T_2$ — натяжения левой и правой верёвки в самой-самой верхней части, где они подходят к блоку, а $r$ — радиус блока.
Но ненулевой суммарный момент сил, действующий на невесомый блок, вызвал бы бесконечно большое угловое ускорение. Следовательно, $T_1=T_2$.

Другое соображение — ускорения левой и правой верёвки равны по величине и противоположны по знаку. Используя всё это, Вы получите другое значение силы натяжения верёвки слева, не равное весу правой верёвки.

-- Ср дек 01, 2021 13:54:38 --

Да, ещё — Вы нарисовали точку приложения силы $T$ в нижней точке. Но сила натяжения меняется вдоль верёвки, в частности, в самой нижней точке любого из концов она равна нулю. Я выше написал, в каких точках надо рассматривать натяжение.

[schoolboy]

Dedekind
по-моему, все просто, вы пишете $ \dfrac{l+x}{2}$, а надо $ \dfrac{l}{2}+x$

[zykov]

Нет, там дело в другом.
$\rho l \ddot h = \rho g x$, но $x=h-h_1$ и $\dot h_1 = -\dot h$, так что $\dot x = 2 \dot h$ (где $h$ и $h_1$ высоты концов верёвки).
Скорость веревки равна $\dot x/2$, а не $\dot x$.

[Dedekind]

svv
Прошу прощения, я что-то не могу сообразить, как тогда изобразить силу тяжести в этой точке. Если строго вниз (красный вектор), то верхняя точка вообще двигаться не будет, поскольку $T_1=T_2$. Посмотрите, пожалуйста, такой ли рисунок Вы имели в виду?


zykov
Я правильно $h, h_1$изобразил?

Если да, то не могу понять уравнение $\dot x = 2 \dot h$. Вроде формально вывод правильный, но из рисунка видно, что $x$ увеличивается за счет увеличения $h$. И если, скажем, за 1 с $h$ увеличится на 1 см, то и $x$ тоже увеличится на 1 см за это же время. То есть, их скорости должны быть равны $\dot x = \dot h$.
И как быть с правой частью? Получается, я в исходном посте правильно написал выражения для сил?

[zykov]

Dedekind в сообщении #1541413 писал(а):

что $x$ увеличивается за счет увеличения $h$

И за счёт уменьшения $h_1$, который уменьшается с такой же скоростью, с какой $h$ увеличивается.

Dedekind в сообщении #1541413 писал(а):

я в исходном посте правильно написал выражения для сил?

Да, сила правильно.

[Dedekind]

zykov
Все, с ускорением наконец-то разобрался, спасибо:)

Но с правой частью остались сомнения.

zykov в сообщении #1541414 писал(а):

Да, сила правильно.

Но вот svv утверждает, что нужно рассматривать силы в другой точке и тогда $T \ne \rho g \dfrac{l-x}{2}$:

svv в сообщении #1541232 писал(а):

Вы получите другое значение силы натяжения верёвки слева, не равное весу правой верёвки

И я, кстати, согласен, что

svv в сообщении #1541232 писал(а):

сила натяжения меняется вдоль верёвки, в частности, в самой нижней точке любого из концов она равна нулю

Подскажите, пожалуйста, в какой точке все-таки нужно тогда рассматривать силы?

[zykov]

Отрежте этот кусок длины $x$. Верёвка будет в равновесии. Два одинаковых конца свисают.
Приклейте его обратно - слева добавится вес $\rho g x$.

[Dedekind]

zykov
Ага, ну то есть вес и натяжение нужно рассматривать для левой веревки на уровне $h_1$ (из последнего рисунка). Вроде понял, большое спасибо!

[svv]

Dedekind в сообщении #1541213 писал(а):

На опускающийся край действуют сила веса части веревки, которая свисает слева $F_g = \rho g \dfrac{l+x}{2}$ и сила натяжения $T = \rho g \dfrac{l-x}{2}$, создаваемая весом противоположного конца.

Отсюда я заключил, что у Вас опускающийся край — это на моей картинке синяя часть верёвки. Ведь если взять бОльшую часть верёвки, на неё будет действовать ещё и сила со стороны блока.

На эту синюю часть действует сила тяжести и сила натяжения верёвки $T_1$ в месте стыка с оранжевой частью.
Аналогично, на зелёную часть действует сила тяжести и сила натяжения $T_2$ в месте стыка с оранжевой частью.
При этом $T_1=T_2$, если пренебречь массой оранжевой части верёвки (а её можно считать как угодно малой).

[Dedekind]

svv
Спасибо, все, теперь понял. А то Вы сказали

svv в сообщении #1541232 писал(а):

самой-самой верхней части, где они подходят к блоку

и я почему-то подумал про самую вершину блока.

(Оффтоп)

И последний вопрос тогда: в какой программе Вы рисовали картинку? Выглядит симпатично.

[svv]

(Оффтоп)

Старенький CorelDraw 11.
Вот одна из картинок, которую когда-то нарисовал. (Вообще программой для создания 3d графики CorelDraw не является.)