Посчитать предел

[Dogya]

Короче есть предел $\lim\limits_{x\to0} (\frac{x\cdot e^x + 1 }{x\cdot \pi^x + 1})^{\frac{1}{x^2}} $ его нужно посчитать ручками не используя Тейлора и Лопиталя имеем следующее:

есть вот такое следствие из зам. предела $\lim\limits_{x\to0} \frac{ a^x -1 }{x\ln(a) }=1 $ тогда делаем так: $\lim\limits_{x\to0} (\frac{x\cdot e^x + 1 }{x\cdot \pi^x + 1})^{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow (\frac{x\cdot e^x -x +x+ 1 }{x\cdot \pi^x -x +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow (\frac{\frac{x^2(e^x -1)}{x} +x+ 1 }{\frac{x\cdot \ln(\pi) }{x\cdot \ln(\pi)}\cdot x\cdot(\pi^x -1) +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}} $

заменим теперь $ \frac{ e^x -1 }{x } $ на a и $ \frac{ \pi^x -1 }{x\ln(\pi) } $ на b, очевидно что a и b при $\lim\limits_{x\to0}$ стремятся к 1 тк следствие выше

Тогда имеем: $(\frac{x^2 a +x+ 1 }{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1})^{\frac{1}{x^2}}$ поделим верх на низ получим $(\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1}+x^2 [a-b \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$

пусть теперь $\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1 } $ это с тк при $ x \to 0$ $ $ $\frac{1}{x^2 b \ln(\pi) +x+ 1 } = 1 $ то с также стремится к 1

получается $( c +x^2 [a-b \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$ и тк a,b,c стремятся к 1 то имеем $(1 +x^2 [1- \ln(\pi)])^{\frac{1}{x^2}}$

А это в свою очередь равно простому $ \frac{e}{\pi}$ и это вроде бы и есть правильный ответ НО тут у меня встает вопрос имею ли я право считать a,b,c единицей (т.е. брать пределы внутри пределов? я не знаю как сформулировать)

И если не имею то подскажите как по другому решить с условиями выше

[Otta]

Dogya в сообщении #1541176 писал(а):

НО тут у меня встает вопрос имею ли я право считать a,b,c единицей (т.е. брать пределы внутри пределов? я не знаю как сформулировать)

Нормально сформулировалось. Внутри выражений типа (слагаемое 1+ слагаемое 2) в бог весть какой степени переходить к пределу в сумме вообще-то нельзя. По сути, Вы заменяете на эквивалентные. В суммах это не делается, только в частных и произведениях.

Dogya в сообщении #1541176 писал(а):

И если не имею то подскажите как по другому решить с условиями выше

Замечательный предел, выделить целую часть (единицу), дальше вопрос техники.

[artempalkin]

В случае $U\to 1 \ \ V\to\infty$ при $x\to a$ можно воспользоваться формулой:

$$\huge\lim\limits_{x\to a}U^V=e^{\lim\limits_{x\to a}(U-1)\cdot V},$$

которая сразу следует из второго замечательного предела.