Не очень понятное место из Фихтенгольца

[Vladimir Pliassov]

Буду признателен, если кто-нибудь разъяснит мне следующее малопонятное для меня место в доказательстве существования числа $\gamma$ из определения суммы вещественных чисел, данного в 1т. «Курса дифференциального и интегрального исчисления» М. Фихтенгольца, https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр. 28 (внизу), 29:

Цитата:

Пусть имеем два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$. Станем рассматривать рациональные числа $a, a'$ и $b, b'$, удовлетворяющие неравенствам

$$a<\alpha<a' \;\;\text {и} \;\; b<\beta<b'. \eqno {(1)}$$

Суммой $\alpha+\beta$ чисел $\alpha$ и $\beta$ назовем такое вещественное число $\gamma$, которое содержится между всеми суммами вида $a+b$, с одной стороны, и всеми суммами вида $a'+b'$, -- с другой:

$$a+b<\gamma<a'+b'.$$

Удостоверимся прежде всего, что такое число $\gamma$ существует для любой пары вещественных чисел $\alpha, \beta$.

Рассмотрим множество всевозможных сумм $a+b$. Это множество ограничено сверху, например, любой суммой $a'+b'$. Положим же [11]

$$\gamma=\sup \{a+b\}.$$

Тогда $a+b\leqslant \gamma$

Это мне понятно (здесь имеется в виду, что, вообще, элемент множества может быть меньше либо равен точной верхней границе этого множества, хотя в данном случае равенство невозможно, о чем говорится несколькими строчками ниже), но дальше:

Цитата:

и, в то же время, $\gamma \leqslant a'+b'$

Почему $\gamma \leqslant a'+b'?$ Потому что имеется две возможности:

1) в $\{a+b\}$ найдется наибольший элемент (возможность, оторванная от действительности), и тогда $\gamma \in \{a+b\}$ и поэтому $\gamma <a'+b'$ для любых $a', b',$ (поскольку для любых $a, b, a', b',$ имеем $a+b<a'+b'$);

2) в $\{a+b\}$ нет наибольшего элемента (как оно и есть в данном случае), и тогда для любых $a, b$ будет $a+b<\gamma$, поэтому из этой возможности имеется еще две возможности: либо $\gamma=a'+b'$ для некоторых $a', b'$, а для остальных $a', b'$ будет $\gamma <a'+b'$ (то есть $\gamma \in \{a'+b'\}$), либо для всех $a', b'$ будет $\gamma <a'+b'$

($\gamma>a'+b'$ быть не может ни для каких $a', b'$, так как $\gamma$ это наименьшая из верхних границ $\{a+b\}$)?

Но это какое-то сложное рассуждение, может быть, есть другое объяснение, которого я не нахожу?

[iifat]

$(\forall a\ a<a') \Rightarrow \sup a\leqslant a'$

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1540834 писал(а):

1) в $\{a+b\}$ найдется наибольший элемент (возможность, оторванная от действительности)

А зачем рассматривать "возможности оторванные от действительности"? Таковых не только бесконечное количество, но - хуже того - их рассмотрение ничему не помогает.

Vladimir Pliassov в сообщении #1540834 писал(а):

$\gamma>a'+b'$ быть не может ни для каких $a', b'$, так как $\gamma$ это наименьшая из верхних границ $\{a+b\}$

А это и есть все доказательство, поскольку если $\gamma>a'+b'$ неверно, то $\gamma \leqslant a'+b'$

[Vladimir Pliassov]

iifat в сообщении #1540845 писал(а):

$(\forall a\ a<a') \Rightarrow \sup a\leqslant a'$

Спасибо! Попробую обосновать то, что Вы написали.

Поскольку $a+b<a'+b',$

1) то при $\gamma =\sup \{a+b\}\in \{a+b\}$ найдутся такие $a$ и $b$, при которых для всех $a'$ и $b'$ будет $a+b=\gamma<a'+b',$

2) а при $\gamma \notin \{a+b\}$

либо найдутся такие $a'$ и $b'$, при которых для всех $a$ и $b$ будет $a+b<\gamma=a'+b',$ а для остальных $a'$ и $b'$ будет $a+b<\gamma<a'+b',$

либо для всех $a$ и $b$ и для всех $a'$ и $b'$ будет $a+b<\gamma<a'+b',$

что в общем дает $\gamma\leqslant a'+b'?$

Вижу, что у меня получилось такое же сложное рассуждение как и сначала (вернее, то же самое рассуждение несколько другими словами), но, наверное, если "рассматривать возможности оторванные от действительности", то есть если рассматривать не только неравенства, но и неактуальные здесь равенства, то просто и не получится? Хотя у Odysseus получилось гораздо проще, чем у меня (меня даже поразило, насколько проще):

Odysseus в сообщении #1540848 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1540834 писал(а):

$\gamma>a'+b'$ быть не может ни для каких $a', b'$, так как $\gamma$ это наименьшая из верхних границ $\{a+b\}$

А это и есть все доказательство, поскольку если $\gamma>a'+b'$ неверно, то $\gamma \leqslant a'+b'$

Вопрос

Odysseus в сообщении #1540848 писал(а):

А зачем рассматривать "возможности оторванные от действительности"?

очевидно, можно перенаправить Фихтенгольцу, это ведь он рассматривает неактуальные здесь равенства. Я бы доказывал по другому:

Из

$$a<\alpha<a' \;\;\text {и} \;\; b<\beta<b'. \eqno {(1)}$$

следует $a<a'$ и $b<b',$ отсюда $a+b<a'+b',$ таким образом имеем два класса рациональных чисел: нижний класс $C=\{a+b\}$ и верхний класс $C'=\{a'+b'\}$.

Элементы класса $C'$ ограничивают класс $C$ сверху, а элементы класса $C$ ограничивают класс $C'$ снизу, поэтому имеется точная верхняя граница $\gamma_1$ класса $C$ и точная нижняя граница $\gamma_2$ класса $C'$.

При этом класс $C$ не имеет наибольшего числа, а класс $C'$ не имеет наименьшего, так что разность $(a'+b')-(a+b)$

Цитата:

может быть сделана сколь угодно малой.

А тогда, по лемме 2, существует только одно число, содержащееся между суммами $a+b$ и $a'+b'.$

(Фихтенгольц, там же.)

То есть $\gamma_1=\gamma_2$ (обозначим это число $\gamma$).

Между прочим, так заодно было бы доказано и существование, и единственность числа $\gamma.$

Должен, все-таки сказать, что лично для меня это и хорошо, что Фихтенгольц ведет читателя таким трудным для (моего) понимания путем -- мне было очень полезно пройти по нему.

К тому же в лемме 2 (https://studfile.net/preview/4422204/page:3/ стр.21) также употребляются неактуальные здесь равенства.

[eugensk]

Vladimir Pliassov в сообщении #1540919 писал(а):

таким образом имеем два класса рациональных чисел: нижний класс $C=\{a+b\}$ и верхний класс $C'=\{a'+b'\}$.

Это не сечение, пока вы не показали что любое число попадает в какой-то из классов.Пока это просто придирка к тому что вы называете множества нижний и верхний классы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1540919 писал(а):

При этом класс $C$ не имеет наибольшего числа, а класс $C'$ не имеет наименьшего, так что разность $(a'+b')-(a+b)$ может быть сделана сколь угодно малой.

Непонятно, откуда взялось "так что". Разность можно сделать сколь угодно малой, но не по той причине, что вы указали.

[Vladimir Pliassov]

eugensk в сообщении #1540932 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1540919 писал(а):

таким образом имеем два класса рациональных чисел: нижний класс $C=\{a+b\}$ и верхний класс $C'=\{a'+b'\}$.

Это не сечение, пока вы не показали что любое число попадает в какой-то из классов. Пока это просто придирка к тому что вы называете множества нижний и верхний классы.

Спасибо! Да, действительно. Я и не имел в виду сечение, а множества $C$ и $C'$ назвал классами на том основании, что они не пересекаются. Согласен, что здесь это было неуместно.

eugensk в сообщении #1540932 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1540919 писал(а):

При этом класс $C$ не имеет наибольшего числа, а класс $C'$ не имеет наименьшего, так что разность $(a'+b')-(a+b)$ может быть сделана сколь угодно малой.

Непонятно, откуда взялось "так что". Вот тут уже ваше рассуждение не работает.

И тут согласен. Наверное, надо так:

Для произвольно малого $e$ найдутся такие $a, a', b, b',$ что будет $a'-a<e$ и $b'-b<e,$ поэтому

$$(a'-a)+(b'-b)<2e\rightarrow (a'+b')-(a+b)<2e.$$

[eugensk]

Ну да, теперь все получается.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!