Доказать существование биекций

[Middle]

Доказать, что существуют биекции $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ вида:
1) $f(x,y)=h(\varphi(x)+\omega(y))$
2) $f(x,y)=\varphi(x)+\omega(y)$
Док-во:
Пусть $f(x,y)-$ биекция, тогда:

$$ \begin{cases} f(x,y=\operatorname{const})=\varphi(x)\\ f(x=\operatorname{const},y)=\omega(y)\\ \end{cases} $$

Сложим правые и левые части:
$\sigma(x,y)=\varphi(x)+\omega(y)$, где $\sigma(x,y)-$биекция, поскольку в правой части сумма биекций.
Очевидно , что 1) можно получить, если умножить левые и правые части последнего уравнения на постоянный скаляр h, и, далее переобозначить функцию $h(\varphi(x))$.

Все ли в порядке в доказательстве?

[mihaild]

Во-первых, непонятно, что такое $\varphi(x)$ (и $\omega(x)$). Для разных $y_0$ функция $\varphi(x) = f(x, y_0)$ будет разной.
Во-вторых,

Middle в сообщении #1540705 писал(а):

$\sigma(x,y)=\varphi(x)+\omega(y)$, где $\sigma(x,y)-$биекция, поскольку в правой части сумма биекций

это что-то совсем непонятное. Пусть например $\varphi(x) = x$, $\omega(y) = y$. Тогда получится $\theta(x, y) = x + y$, что непохоже на биекцию.

[Padawan]

Для решения второй задачи представьте $\mathbb R$ как векторное пространство над $\mathbb Q$ и рассмотрите базис Гамеля. Первую задачу можно решить более конструктивно.