Число корней почти квадратной системы

[DLL]

Рассмотрим четыре уравнения на $(u,v,w,z)$

$$ A_{22} z^2 w^2 + A_{20} z^2 + A_{02} w^2 + 2 A_{11} z w + A_{00} = 0, $$ $$ B_{22} z^2 v^2 + B_{20} z^2 + B_{02} v^2 + 2 B_{11} z v + B_{00} = 0, $$ $$ C_{22} u^2 v^2 + C_{20} u^2 + C_{02} v^2 + 2 C_{11} u v + C_{00} = 0, $$ $$ D_{22} u^2 w^2 + D_{20} u^2 + D_{02} w^2 + 2 D_{11} u w + D_{00} = 0, $$

Коэффициенты вещественные числа. Как понять из общих соображених сколько максимально решений может иметь система?
Случай когда решений бесконечно много исключим. То есть по условию - пусть коэффициенты такие что количество решений конечно.

[nnosipov]

Взять конкретные (случайные, небольшие) коэффициенты, скормить Maple (пакет Groebner) и посмотреть, что будет. Возможно, что и решит. Но с буквами (в общем виде) --- скорее всего, не переварит.

Да, и каких решений? Если вещественных, то это может быть трудной задачей.

[DLL]

Нет, с конкретными - это понятно, но не интересно.
Речь как раз про общий случай. Да можно комплексные чтоб было проще..
P.S: хочется без Грёбнера какой-нибудь красивое соображение; каждое уравнение зависит от двух переменных - при фиксированном одном, другое - просто квадратное..

[nnosipov]

DLL в сообщении #1540382 писал(а):

Нет, с конкретными - это понятно, но не интересно.

Я имел в виду --- чтобы узнать ответ в общем виде. Или ответ Вам уже известен (может быть, есть правдоподобная гипотеза)?

Вот недавно решал такую задачу: как по длинам биссектрис найти длины сторон треугольника. Там такой эксперимент приводит к правильному ответу в общем виде (каждая сторона есть корень многочлена 20-й степени).

-- Ср ноя 24, 2021 21:55:42 --

DLL в сообщении #1540382 писал(а):

хочется без Грёбнера какой-нибудь красивое соображение

Боюсь, с красивым будут проблемы. Формулы для длин биссектрис очень красивые (и симметричные), но толку от этого мало. Только методом грубой силы.

Впрочем, пробуйте. У меня идей здесь нет.

[Slav-27]

Не более $256$ по теореме Безу, а дальше уже надо думать.

[mihiv]

Мне кажется, оценку можно уточнить. Выразим из первой пары уравнений $z$ через $v$ и $w$. Подставляя это выражение для $z$, например, в первое уравнение, получим $P_1(v,w)=0$, где $P_1$ - полином 10-й степени (если не ошибся). Таким же образом можно выразить неизвестное $u$ из 3-его и 4-ого уравнений и получить $P_2(v,w)=0$, где $P_2$ тоже полином 10-й степени. Тогда, как указал Slav-27, по теореме Безу полученная система будет иметь не более 100 решений.
Как выразить $z$. В первом и втором уравнении слагаемые с $z^2$ оставляем слева, все остальное переносим направо, делим первое уравнение на второе:

$$\dfrac {A_{22}w^2+A_{20}}{B_{22}v^2+B_{20}}=\dfrac {A_{02}w^2+2A_{11}zw+A_{00}}{B_{02}v^2+2B_{11}zv+B_{00}}\eqno (1)$$

из (1) находим $z$.

[DeBill]

mihiv
Или (видимо, это то же самое) считаем результант для первой пары уравнений...

[mihiv]

DeBill
Ну да, результант -это более общий метод.

[DLL]

Если взять 3 и 4 уравнения и посчитать результант, то получается

Resultant := C02^2*D22^2*v^4*w^4 - 2*C02*C22*D02*D22*v^4*w^4 + C22^2*D02^2*v^4*w^4 + 2*C00*C02*D22^2*v^2*w^4 - 2*C00*C22*D02*D22*v^2*w^4 + 2*C02^2*D20*D22*v^4*w^2 - 2*C02*C20*D02*D22*v^2*w^4 - 2*C02*C22*D00*D22*v^4*w^2 - 2*C02*C22*D02*D20*v^4*w^2 + 2*C20*C22*D02^2*v^2*w^4 + 2*C22^2*D00*D02*v^4*w^2 + C00^2*D22^2*w^4 + 4*C00*C02*D20*D22*v^2*w^2 - 2*C00*C20*D02*D22*w^4 - 2*C00*C22*D00*D22*v^2*w^2 - 2*C00*C22*D02*D20*v^2*w^2 + C02^2*D20^2*v^4 - 2*C02*C20*D00*D22*v^2*w^2 - 2*C02*C20*D02*D20*v^2*w^2 - 2*C02*C22*D00*D20*v^4 + 4*C02*C22*v^4*w^2 - 4*C02*D22*v^3*w^3 + C20^2*D02^2*w^4 + 4*C20*C22*D00*D02*v^2*w^2 + C22^2*D00^2*v^4 - 4*C22*D02*v^3*w^3 + 4*D02*D22*v^2*w^4 + 2*C00^2*D20*D22*w^2 + 2*C00*C02*D20^2*v^2 - 2*C00*C20*D00*D22*w^2 - 2*C00*C20*D02*D20*w^2 - 2*C00*C22*D00*D20*v^2 + 4*C00*C22*v^2*w^2 - 4*C00*D22*v*w^3 - 2*C02*C20*D00*D20*v^2 + 4*C02*C20*v^2*w^2 - 4*C02*D20*v^3*w + 2*C20^2*D00*D02*w^2 + 2*C20*C22*D00^2*v^2 - 4*C20*D02*v*w^3 - 4*C22*D00*v^3*w + 4*D00*D22*v^2*w^2 + 4*D02*D20*v^2*w^2 + C00^2*D20^2 - 2*C00*C20*D00*D20 + 4*C00*C20*w^2 - 4*C00*D20*v*w + C20^2*D00^2 - 4*C20*D00*v*w + 4*D00*D20*v^2

В таком случае получается верхняя оценка на число корней -> 8*8 = 64
Улучшить оценку уже наверное никак?

[DLL]

Хорошо. Еще один интересный вопрос.
Допустим эта система имеет 65 вещественных корней (на 1 больше чем оценка).
Следует ли из этого что у нас будет вещественный (не комплексный) интервал нулей?
Как можно в целом к этому вопросу подойти?

[mihiv]

Получим достаточные условия, при которых система не имеет вещественных решений.
Будем рассматривать, например, первое уравнение как квадратное относительно $z$ и содержащее вещественный параметр $w$. Оно не имеет вещественных решений, если его дискриминант $<0$. Из этого условия получим неравенство:

$$A_{22}A_{20}w^4+(A_{20}A_{02}+A_{22}A_{00}-A^2_{11})w^2+A_{00}A_{02}>0$$

.
Аналогичные неравенства получим для $B,C,D$. Если хотя бы одно из 4 полученных неравенств выполняется для всех вещественных значений параметра $w,v$, то система не имеет вещественных решений.