Аналит.геом., 6 плоскостей в пирамиде в одной точке

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите верна ли идея решения задачи:

-----

Доказать, что 6 плоскостей, каждая из которых содержит ребро треугольной пирамиды и проходит через середину скрещивающегося с ним ребра, пересекаются в одной точке.

-----

Моя идея в следующем. Выбрать вектора, принадлежащие каждой плоскости так, чтобы он выходил из вершины и заканчивался в середине скрещивающегося ребра. Далее доказать, что все векторы пересекаются в одной точки. И отсюда будет следовать, что плоскости так же пересекаются в одной точке.

Верна ли идея?

Есть ли другие подходы?

[Alex Krylov]

Можно составить 6 уравнений плоскостей (по 3-м точкам) и применить к полученной СЛАУ теорему Кронекера-Капелли.

[lel0lel]

Докажите для тетраэдра, а затем с помощью аффинных преобразований для произвольной пирамиды.

[INGELRII]

Имхо, проще всего так: разобьем эти плоскости на три пары, в каждой паре по плоскостям, проходящим через скрещивающиеся ребра пирамиды. По построению самих этих плоскостей видно, что прямая их пересечения проходит через середины оных ребер. Дальше достаточно показать, что все три прямые пересекаются в одной точке. Если обозначить вершины пирамиды как вектора $v_1, v_2, v_3, v_4$, выразить через них координаты середин ребер, записать уравнения проходящих через них прямых... то станет довольно очевидно, что все они проходят через точку $(v_1+v_2+v_3+v_4)/4$

[Alexander__]

Благодарю за разъяснения!