Количество решений системы полиномиальных уравнений

[xagiwo]

Где можно почитать про? Интересуют верхние границы, вроде "у системы из двух квадратных уравнений с двумя неизвестными либо бесконечно много, либо не больше четырёх решений"

[lel0lel]

Речь про общий случай о количестве точек пересечения двух кривых $k$-го порядка? Вроде ответ на поверхности. Вот тривиальный пример для $k=3$:
$\begin{cases}(x-1)(x-2)(x-3)=0,\\(y-1)(y-2)(y-3)=0.\end{cases}$
Количество решений $k^2$.

[xagiwo]

lel0lel в сообщении #1539872 писал(а):

Вроде ответ на поверхности

Ответ – конечно, но в более сложных случаях он не очевиден. Да и две кривые – мало.

Или Вы намекаете, что это простая задача?

[lel0lel]

Бесконечное число решений может быть всегда, если всё кривые совпадают. А вот наибольшее, но не бесконечное, будет реализовываться например если все уравнения факторизуются, как в моём примере для двух уравнений.

[xagiwo]

lel0lel
Спасибо, но почему это действительно будет наибольшим?

[lel0lel]

Хочется сказать про основную теорему алгебры, но как-то неаккуратно получится. Ведь мы не всегда можем прийти к алгебраическому уравнению нужной степени. Поэтому лучше так: запишем нетривиальную линейную комбинацию полиномов, если решений будет больше, то получившийся полином будет нулевым, можно посмотреть про интерполяцию полиномов нескольких переменных.

[B@R5uk]

lel0lel в сообщении #1539885 писал(а):

Ведь мы не всегда можем прийти к алгебраическому уравнению нужной степени.

Мои воспоминания, возможно, засалились за давностью, но через базисы Грёбнера от системы к одному уравнению можно прийти всегда. Именно в связи с этим фактом я этими базисами когда-то заинтересовался. Если не прав, то поправьте меня. Во всяком случае, вопрос, поставленный ТС в первом посте о количестве нулей, однозначно отвечается через эти базисы в каждом конкретном случае.

[lel0lel]

B@R5uk
Да, Вы правы, сразу я не сообразил. А вопрос xagiwo о Bezout's theorem

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1539870 писал(а):

Где можно почитать про?

Видимо, в книжках про алгебраическую геометрию и еще в книжках про базисы Гребнера. А вообще, вопрос про количество корней нетривиальный (ответ существенно зависит от поля, над которым решается система).

[xagiwo]

Спасибо, буду читать про базисы Гребнера

[nnosipov]

xagiwo
Вот книжечка, где про это написано по-человечески: Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. — М.: МЦНМО, 2003.

[vpb]

Придумал элементарное (сравнительно) доказательство. Надо только знать теорему об однозначности разложения на множители в кольце многочленов от нескольких (в данном случае двух) переменных над полем, и самые базовые вещи из алгебры.

Итак, надо доказать, что если $\deg f=m$, $\deg g=n$, то пересечение кривых $f(x,y)=0$ и $g(x,y)=0$ или содержит бесконечное число точек, или $\leq mn$ точек.

Если $f$ и $g$ не взаимно просты, скажем оба делятся на $h$, то точек бесконечно много (вся кривая $h(x,y)=0$). Поэтому считаем, что $f$ и $g$ взаимно просты.

Пусть $V_d\subset K[x,y]$ --- пространство многочленов степени $\leq d$. Тогда $\dim V_d=(d+1)(d+2)/2$. Пусть $F,G\subseteq V_d$ --- подпространства в нем, состоящие из многочленов, делящихся на $f$ и $g$ соответственно, а также $H=F\cap G$. Ясно, что $F$ состоит из всех многочленов вида $fs$, где $s$ --- многочлен степени $\leq d-m$. Отсюда $\dim F=(d-m+1)(d-m+2)/2$ при $d\geq m$. Аналогично при $d\geq n$ имеем $\dim G=(d-n+1)(d-n+2)/2$,
а при $d\geq m+n$ также $\dim H=(d-m-n+1)(d-m-n+2)/2$ (поскольку $H$ состоит из всех многочленов, делящихся как на $f$, так и на $g$. Т.е., в силу однозначности разложения и взаимной простоты $f$ и $g$ --- из многочленов, делящихся на $fg$.)

Теперь подсчитаем размерность суммы $F+G$, при $d\geq m+n$. Она равна

$$ \dim F+\dim G -\dim (F\cap G)= \ldots = (d+1)(d+2)/2-mn .$$

Т.е., сумма $F+G$ при $d\geq m+n$ всегда имеет в $V_d$ коразмерность $mn$. Теперь, пусть $d=mn$, и $S\subseteq V_d$ --- подпространство многочленов, степени $\leq d$, зависящих только от $x$. Тогда $\dim S=d+1=mn+1$, что больше коразмерности $F+G$. Значит, $F+G$ нетривиально пересекает $S$. Это в свою очередь влечет, что существует многочлен $p(x)$ от $x$, степени $\leq mn$, который представим в виде

$$ p(x) = a(x,y)f(x,y) + b(x,y)g(x,y). $$

У любой точки пересечения кривых оба $f,g=0$, значит и $p(x)=0$. Значит, абсциссы всех точек пересечения кривых удовлетворяют условию $p(x)=0$. Поэтому существует $\leq mn$ таких абсцисс.

Это почти всё доказательство. Если все точки пересечения имеют разные абсциссы, то оно и достаточно. В общем случае, рассуждаем так. Во всяком случае, возможных абсцисс точек пересечения конечное число, и возможных ординат аналогично, поэтому всего точек конечное число. Теперь, предполагая поле бесконечным, можно подобрать такую линейную замену переменных, (или, эквивалентно, аффинное преобразование на плоскости), что все точки пересечения будут иметь разные абсциссы. А линейная замена сохраняет степени многочленов, очевидно, и можно применить
рассуждение выше.

Теорему Безу как таковая, в нынешнем понимании --- более точное и сильное утверждение, а именно: " сумма кратностей точек пересечения двух кривых без общих компонент на проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем равна произведению степеней кривых". Я её впервые встретил в книжке Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, т.1. Но как-то она там не так написана, я тогда ее не прочувствовал. (или просто тогда маловат был...). Гораздо позже я таки занутрил её, читая Fulton, Algebraic Curves. Эта книжка, надо сказать, в целом попроще Шафаревича.

[nnosipov]

Я так понимаю, что поле $K$ у Вас --- алгебраически замкнутое (например $\mathbb{C}$).

[vpb]

К рекомендации почитать книжку Аржанцева --- безусловно присоединяюсь. Для вас это, можно сказать, мастхев, как нынче говорят.

Есть еще такая книга, ужасная своим объемом : Teo Mora, Solving polynomial equations systems. В четырех толстых томах, общим объемом тыщи три страниц. Скачал ее лет пять назад, мечтаю как-нибудь почитать. Пока не выходит. Не думаю, однако, что читать ее будет ужасно трудно: это, в сущности, записи спецкурсов для студентов, причем не в Гарварде, а всего лишь в Генуе.

-- 20.11.2021, 18:02 --

nnosipov
не, почему ? Над любым бесконечным проходит. А конечное тотчас же к бесконечному сводится. Там же неравенство. В "настоящей" теореме Безу --- замкнутое, конечно.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1539951 писал(а):

Над любым бесконечным проходит.

Возможно, я пока не вчитывался, но сходу вот здесь:

vpb в сообщении #1539948 писал(а):

Если $f$ и $g$ не взаимно просты, скажем оба делятся на $h$, то точек бесконечно много (вся кривая $h(x,y)=0$).

А если $h(x,y)=x^2+y^2+1$, например? Над полем $\mathbb{R}$?

И над полем $\mathbb{Q}$ вообще может какая-нибудь диофантовщина вылезти, нет? (Надеюсь, что нет.)

-- Сб ноя 20, 2021 23:41:42 --

А вообще, я бы попробовал через результант. Хотя это вполне может быть эквивалентно тому, что Вы предлагаете.