Линейная независимость четырех специфических функций

[DLL]

Рассмотрим четыре функции

$$ F_1(t), F_2(t) w_{1/2}(t), F_3(t) v_{1/2}(t), F_4(t) w_{1/2}(t) v_{1/2}(t) $$

Четыре функции $F_i(t)$ - это полиномы, а $w_{1/2}(t) = \sqrt{G_1(t)}, v_{1/2}(t) = \sqrt{G_2(t)}$ ($G_1$ и $G_2$ линейно независимые положительные полиномы)

Чего-то не соображу. Следует ли из равенства нулю

$$ F_1(t) + F_2(t) w_{1/2}(t) + F_3(t) v_{1/2}(t) + F_4(t) w_{1/2}(t) v_{1/2}(t) = 0, \,t \in (a,b) $$

что все полиномы нулевые:

$$F_1 = F_2 = F_3 = F_4 = 0 ?$$

[Padawan]

$t^3+t^2\sqrt{t^2}-t\sqrt{t^4}-\sqrt{t^2}\sqrt{t^4}=0$, $t\in (0,1)$

[nnosipov]

DLL в сообщении #1539155 писал(а):

($G_1$ и $G_2$ линейно независимые положительные полиномы)

Линейная независимость здесь не при делах. Вот если $G_1$ и $G_2$ будут мультипликативно независимы (т.е. их произведение не есть точный квадрат и каждый из них не есть точный квадрат), то тогда все $F_i$ обязаны быть нулевыми.