Дорогие друзья! Ещё раз, благодарю за подсказки. Ниже привожу решение этой задачи и прошу прокомментировать на предмет правильности. Как-то всё очень сложно (возможно, что я сам "усложняю" решение - можно ли как-то проще?). Также мой прежний вопрос остаётся в силе: приведено ли где-то общее утверждение о подсчёте нормы интегрального оператора в
![$C[a, b]?$ $C[a, b]?$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/3/d731f44f5e24ee919bfcbbf32625579b82.png)
В книге Березанского, например, есть утверждение по поводу таких операторов в

, а вот
![$C[a, b]$ $C[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/7/e77e794b3859783600b5f8f2bfed341e82.png)
как-то не встретилось.
Найти норму оператора
![$$A: C[-1, 1]\rightarrow C[-1, 1]\,,\eqno(1)$$ $$A: C[-1, 1]\rightarrow C[-1, 1]\,,\eqno(1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/0/dc00bfeb2255bba65a2e18088462081082.png)
если

Пусть
![$x\in C[-1, 1].$ $x\in C[-1, 1].$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/095c4a60c9f35c3a40b6143d0fc544e382.png)
По неравенству треугольника и используя
элементарные свойства интеграла, при

будем иметь:

![$$\leqslant \int\limits_{-1}^t|x(s)|\,ds+\int\limits_{0}^1s|x(s)|\,ds
\leqslant \Vert x(t)\Vert_{C[-1,
1]}\left(1+\int\limits_{0}^1s\,ds\right)=\eqno(3)$$ $$\leqslant \int\limits_{-1}^t|x(s)|\,ds+\int\limits_{0}^1s|x(s)|\,ds
\leqslant \Vert x(t)\Vert_{C[-1,
1]}\left(1+\int\limits_{0}^1s\,ds\right)=\eqno(3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/3/9e33a07fc582e4aa4b60ed7f468219c482.png)
![$$=\frac{3}{2}\Vert
x(t)\Vert_{C[-1, 1]}\,.$$ $$=\frac{3}{2}\Vert
x(t)\Vert_{C[-1, 1]}\,.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/f/6cf0e78a5129da26421b6a80ffb0ba4282.png)
Если же

то заметим, что


где

Из соотношения (4) следует, что
![$$|Ax(t)|\leqslant \Vert x\Vert_{C[-1, 1]}
\cdot \max\limits_{t\in [0, 1]}\int\limits_{-1}^{1} |K(s,
t)|\,ds\,.\eqno(5)$$ $$|Ax(t)|\leqslant \Vert x\Vert_{C[-1, 1]}
\cdot \max\limits_{t\in [0, 1]}\int\limits_{-1}^{1} |K(s,
t)|\,ds\,.\eqno(5)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/2/a929ac1229f749273cb82dd43a797e7c82.png)
Заметим, что

Максимум данного выражения

по
![$t\in[0, 1]$ $t\in[0, 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb924d30d59da44abba6c2b646ca079682.png)
даёт
в точке

значение

Тогда из (3) и (5) вытекает, что
![$\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}\leqslant \frac{7}{4}.$ $\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}\leqslant \frac{7}{4}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/2/e1218d30084c4a98ccf371d400017a7182.png)
Покажем, что
![$\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}=\frac{7}{4}.$ $\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}=\frac{7}{4}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7adac67f458b5b63fb3c0df6f13cdfb82.png)
Для этого
рассмотрим последовательность непрерывных функций

определённых следующим образом:
![$$x_n(t)=\begin{cases}1\,,&t\in \left[-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right]\,,\\
-2n\left(t-\frac{1}{2}\right)-1\,,&t\in\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n},\frac{1}{2}\right]\,,\\
-1\,,&t\geqslant \frac{1}{2}\,.
\end{cases}$$ $$x_n(t)=\begin{cases}1\,,&t\in \left[-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right]\,,\\
-2n\left(t-\frac{1}{2}\right)-1\,,&t\in\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n},\frac{1}{2}\right]\,,\\
-1\,,&t\geqslant \frac{1}{2}\,.
\end{cases}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/33085c18c6146907f6bb4749b43c186082.png)
Заметим, что
![$\Vert x_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}=1$ $\Vert x_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/0/fe076eac6d5d2e2d452be9c21ec65ded82.png)
и

где

при

Тогда
![$$Ax_n(t)=\begin{cases}t+1-J_n\,,&t\leqslant \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\,,
\\
\frac{3}{2}-\frac{1}{n}+\int\limits_{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}^{t}\left(-2n
\left(s-\frac{1}{2}\right)-1\right)\,ds-J_n
\,,& t\in\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n}, \frac{1}{2}\right]\,,\\
2-\frac{1}{n}-t-J_n \,,& t\geqslant \frac{1}{2}\,.\end{cases}$$ $$Ax_n(t)=\begin{cases}t+1-J_n\,,&t\leqslant \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\,,
\\
\frac{3}{2}-\frac{1}{n}+\int\limits_{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}^{t}\left(-2n
\left(s-\frac{1}{2}\right)-1\right)\,ds-J_n
\,,& t\in\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n}, \frac{1}{2}\right]\,,\\
2-\frac{1}{n}-t-J_n \,,& t\geqslant \frac{1}{2}\,.\end{cases}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/5/9256291a99f8936697daea8497b4d91f82.png)
Отсюда вытекает, что
![$$\Vert Ax_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant Ax_n\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)
=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-J_n\rightarrow \frac{7}{4}$$ $$\Vert Ax_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant Ax_n\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)
=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-J_n\rightarrow \frac{7}{4}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/a/4ba42780d0e6d2c7476f4bbab5f8531082.png)
при

так как в силу (6) и (7) имеем:

при

Переходя к

по

слева и справа в последнем
неравенстве, будем иметь:
![$$\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant \sup\limits_{n\in {\Bbb N}}
\Vert Ax_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-J_n\right)=\frac{7}{4}\,.$$ $$\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant \sup\limits_{n\in {\Bbb N}}
\Vert Ax_n(t)\Vert_{C[-1, 1]}\geqslant
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-J_n\right)=\frac{7}{4}\,.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/5/845b65dde0e9c865bd7c566cb63db1ad82.png)
Отсюда следует, что
![$\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}=\frac{7}{4},$ $\Vert A\Vert_{C[-1, 1]}=\frac{7}{4},$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/6/7362a35061389454a41cb9973298147982.png)
что и
требовалось установить.~
