Частное решение дифференциального уравнения.

[Kevsh]

Мне дано дифференциальное уравнение:
$y''+y=2\cos{7x}-3\sin{7x}$
Я нашёл его общее решение:
$y_o=c_1\cos{x}+c_2\sin{x}$
Частное решение этого уравнения нужно найти именно с функциями, то есть нужно найти $c_1(x)$ и $c_2(x)$. Я это сделал и захотел проверить, правильный ли ответ. В решебнике $c_1=-\frac{1}{24}$ и $c_2=\frac{1}{16}$. У меня же получились функции, в которых при $x=0$ я получаю $c_1(0)=-\frac{1}{24}$ и $c_2(0)=\frac{7}{16}$. В решебнике решают другим способом, там сразу же находят вот эти коэффициенты, без функций. Обязаны ли они у меня совпадать или нет? Или просто $c_2$ у меня не сходится, потому что у них та же функция, но просто в другой точке?
Вот функции, которые у меня получились:
$c_1(x)=\frac{\cos{8x}}{8}-\frac{\cos{6x}}{6}+\frac{\sin{6x}}{4}-\frac{3\sin{8x}}{16}$
$c_2(x)=\frac{\sin{6x}}{6}+\frac{\sin{8x}}{8}+\frac{3\cos{8x}}{16}+\frac{\cos{6x}}{4}$

[artempalkin]

А зачем вы так невероятно сложно решаете? Варьирование коэффициента - это удел задача с правой частью общего вида. В частных случаях это только усложняет дело.

Если решать этим способом могут получиться какие угодно ответы, конечно, и сравнивать их с получившимися обычным способом может быть очень трудно. Но у вас в любом случае должны остаться произвольные константы, ведь это не задача Коши.

[zykov]

Kevsh в сообщении #1538877 писал(а):

правильный ли ответ. В решебнике $c_1=-\frac{1}{24}$ и $c_2=\frac{1}{16}$.

Так ответ для какой задачи?
Для дифура нужны какие-то начальные условия. Или получите общее решение с парой констант неизвестных.

[Kevsh]

zykov
Ну самое задание – найти общее решение дифференциального уравнения, которое я написал в самом начале. Нам сказали, что можно найти окончательное решение – это сумма общего и частного решений. Частное решение, как я понял, это функция от $x$, но во всех калькуляторах и решебниках берут просто точку этой функции, а нам нужно найти именно функцию. Вот я и думаю, можно ли брать эти две функции – $c_1(x)$ и $c_2(x)$ в разных точках, а не брать обе в нуле.

[svv]

Kevsh в сообщении #1538877 писал(а):

Частное решение этого уравнения нужно найти именно с функциями, то есть нужно найти $c_1(x)$ и $c_2(x)$.

Правильные слова: частное решение нужно найти методом вариации произвольных постоянных.

Kevsh в сообщении #1538877 писал(а):

Я это сделал и захотел проверить, правильный ли ответ.

У Вас пока всё правильно, но не доведено до конца.

Kevsh в сообщении #1538877 писал(а):

В решебнике $c_1=-\frac{1}{24}$ и $c_2=\frac{1}{16}$. У меня же получились функции, в которых при $x=0$ я получаю $c_1(0)=-\frac{1}{24}$ и $c_2(0)=\frac{7}{16}$.

А Вы обратили внимание, что аргументы синусов и косинусов у Вас и в ответе разные? У Вас аргументы $6x$ и $8x$, а в ответе $7x$. Это должно больше беспокоить.

Но, как я сказал, пока всё правильно. Вы нашли $c_1(x)$ и $c_2(x)$, а частным решением является $c_1(x)\cos x+c_2(x)\sin x$. Я поменяю порядок слагаемых в $c_2(x)$ (всего-то), а Вы попробуйте догадаться, как всё это выражение можно очень сильно упростить:
$(\frac{\cos{8x}}{8}-\frac{\cos{6x}}{6}+\frac{\sin{6x}}{4}-\frac{3\sin{8x}}{16})\cos x$
$+$
$(\frac{\sin{8x}}{8}+\frac{\sin{6x}}{6}+\frac{\cos{6x}}{4}+\frac{3\cos{8x}}{16})\sin x$

[artempalkin]

svv в сообщении #1538900 писал(а):

У Вас пока всё правильно, но не доведено до конца.

если все правильно (хватило же у вас терпения проверить!), так наоборот нужно оставить в таком виде, как доказательство героизма :)

[svv]

Если по ходу проверки приговаривать «Вольфрам Альфа, Вольфрам Альфа», всё делается гораздо легче!

[artempalkin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1538906 писал(а):

Если по ходу проверки приговаривать «Вольфрам Альфа, Вольфрам Альфа», всё делается гораздо легче!

надо было догадаться, что без чёрной магии не обошлось :)

[svv]

(Оффтоп)

artempalkin
http://dxdy.ru/post850667.html#p850667