Перейти от неоднородного граничного условия к однородному

[nufchan]

В общем и целом, вопрос в заголовке, а именно перейти от неоднородного граничного условия в уравнении теплопроводности к однородному, используя замену.
Само уравнение и условия выглядят следующим образом:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial U}{\partial t} &=& k \frac{\partial^2 U}{\partial r^2}; \\ U|_{t=0}&=&r\cdot V_0=U_0(r);\\ -\frac{\partial U}{\partial r}|_{r=R}&=&(\lambda -\frac1{R})U(R,t)-\lambda R\theta_0. \end{array} \right.$$

Подскажите, пожалуйста, какой вид имеет замена ,и что нужно делать с этой заменой? Всю голову изломал, не понимаю.. Буду очень благодарен за пояснение по этому вопросу.

[artempalkin]

Вообще по логике нужно делать замену $U=V+W$, где $W$ должна чисто удовлетворять граничным условиям (других условий на нее не накладывается). Ее типа нужно угадывать по большому счету.

Только вот я не совсем понимаю ваше уравнение теплопроводности. Если $U=U(r,\varphi,t)$, то лапласиан должен выглядеть не так (даже если $U$ не зависит от $\varphi$, все равно не так). Если же речь о декартовых координатах (то есть только одна координата, которая почему-то называется $r$), то тогда граничных условий маловато, да и нет ясного указания, как $r$ меняется.

[nufchan]

Мы рассматриваем уравнение теплопроводности в шаре и делаем замену (изначальную) в сферических координатах. Затем когда считаем оператор Лапласа, получаем выражение, зависящее от $\varphi$, $\psi$, $r$. И считаем частный случай, когда от углов оператор Лапласа не зависит, тогда выражение остается с r. Таким образом, мы получаем уравнение:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial V}{\partial t}&=&k \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial V}{\partial r}), \\ V|_{t=0}&=&V_0, \\ -\frac{\partial V}{\partial r}&=&\lambda(V-\theta_0). \end{array} \right.$$

Затем из учебника Самарского, сделал "волшебную" замену $U=V\cdot r$, выразил $V$ и сделал замену в уравнение выше.
И как я понял, мы рассматриваем условие не в области, а на отрезке $r\in[0,R) \text{ и } t>0$. Задача превратилась уже не в области, а на отрезке. Получается уравнение, которое написано в самом вопросе.
В различных пособиях находил про замену информацию, но там 2 граничных условия было и такое ощущение, что чего-то не хватает. С Вашей заменой я согласен, ну с общим видом этой замены.
Вообще говоря, пробовал так заменить: $U=W+Z$, где $Z$ взять как квадратичную функцию и умножить ее на неоднородную часть, т.е. $Z=(ax^2+bx+c)\cdot \lambda R \theta_0$. Но так ли это?
И не понимаю, что такое $U(R,t)$ в граничном условии. Оно тоже должно исчезнуть после замены или что?(

[nufchan]

artempalkin
И даже если воспользоваться такой заменой, то что должно получится? Как быть с $U(R,t)$?

[mihiv]

nufchan
Используйте метод разделения переменных. Заменой приведите граничное условие к виду:

$$\frac {\partial U}{\partial r}|\limits _{r=R}=\alpha U (R,t)$$

Дальше вам нужно будет решать задачу на собственные значения.

[artempalkin]

nufchan в сообщении #1538947 писал(а):

И считаем частный случай, когда от углов оператор Лапласа не зависит, тогда выражение остается с r.

Это как это? мне кажется, вы что-то не то делаете.

nufchan в сообщении #1538947 писал(а):

И как я понял, мы рассматриваем условие не в области, а на отрезке $r\in[0,R) \text{ и } t>0$. Задача превратилась уже не в области, а на отрезке. Получается уравнение, которое написано в самом вопросе.

У вас больше похоже, что вы рассматриваете в шаре все же, потому что граничное условие осталось как бы "от шара" по сути.

В общем, мне кажется, вы принципиально что-то неправильно сделали на начальном этапе, потому что ваше уравнение непохоже на уравнение теплопроводности (ну то есть похоже, но непонятно, на какой области оно, и сами вы, как я понял, не понимаете, на какой).

Напишите изначальную задачу

-- 13.11.2021, 22:04 --

А, похоже, я начал понимать, что вы сделали и что упустили.

На самом деле вы свели задачу к задаче на стержне (потому что задача изначально была сферически симметричной). Но вы упустили еще одно граничное условие, без которого задача на стержне не решится. Ведь чтобы узнать, как стержень будет нагреваться, нам нужно знать, какая температура поддерживается на концах, и как он изначально был нагрет (ну или какие-то подобные исчерпывающие условия). Вы же знаете только о температуре на одном конце стержня (правом), а на левом нет. Однако это условие очевидно, если учесть, что $U=r\cdot V$.

-- 13.11.2021, 22:08 --

Я так понимаю, что если вы добавите это граничное условие, то задачу просто можно будет решить (разделив переменные). Или вам обязательно нужно обнулить граничные условия?

[nufchan]

artempalkin
Дааа! Уравнение мне дали решать, но я тоже смотрел на различных ресурсах и там было два граничных условия. И я в недоумении был и задавался вопросом "А как это?". Но мне так и не разъяснили этот момент с упущенным граничным условием.
В понедельник постараюсь узнать про это и обязательно напишу, что мне скажут.
Спасибо, что принимаете участие в данном вопросе!

-- 14.11.2021, 04:20 --

И Вы верно подметили, я не разбираюсь в полной мере в данной задаче. Но мне интересно этим заниматься и хочется разобраться

[artempalkin]

nufchan в сообщении #1539095 писал(а):

В понедельник постараюсь узнать про это и обязательно напишу, что мне скажут.

Граничное условие упущено не авторами, а вами.

Обратите внимание, что $U(r,\ t)=r\cdot V(r,\ t)$, при этом $ V(r,\ t)$ ограничена (так как температура, конечно, не может быть бесконечной ни в какой области объекта). И вот это накладывает некоторое условие на поведение $U(r,\ t)$ в нуле...

[nufchan]

Все, разобрался. Да, там еще одно граничное условие задается при $r=0$. Сделал замену
$U(r,t)=w(r,t)+r\theta_0$
и получил задачу с однородными граничными условиями:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} w_t&=&k w_{rr} \\ w|_{t=0}&=&r(v_0-\theta_0), \;\; r\in[0,R] \\ w|_{r=0}&=&0 \\ w_r|_{r=R}&=&-(\lambda-\frac1{R})w(R,t) \end{array} \right.$$

Ну и вот, решать методом разделения переменных.
Спасибо большое за пояснения!