Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"

[artempalkin]

Задача состоит в том, чтобы доказать, что канторова лестница не абсолютно непрерывна.

Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что можно подобрать конечное число интервалов сколь угодно малой длины в сумме, так чтобы функция совокупно на этих интервалах возрастала вполне себе конечно.

Итак, канторова лестница возрастает только на канторовом множестве (уж точно не вне него, на каждом интервальчике без пересечений с этим множеством она постоянна). Канторово множество имеет меру нуль. Значит множество, на котором функция возрастает на целую 1, имеет меру нуль.

Но здесь я сталкиваюсь с некоторым неясным моментом. Могу ли я покрыть канторово множество (либо какую-то его вполне конкретную часть, на которой функция возрастает на $1/2$ или что-то конечном) конечным числом интервалов сколь угодно малой длины в сумме? Не вижу, чтобы это откуда-то следовало :(

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1537767 писал(а):

Не вижу, чтобы это откуда-то следовало :(

Канторово множество является компактным. Значит, из любого покрытия его интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

[Padawan]

artempalkin
В определении абсолютной непрерывности можно брать счетное число попарно непересекающихся интервалов.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1537774 писал(а):

Канторово множество является компактным. Значит, из любого покрытия его интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Компактным и замкнутым одно и то же? Мы на этом этапе знаем, что оно является замкнутым. Но при этом я не знаю док-во леммы Гейне-Бореля для произвольных замкнутых множеств на прямой, только для отрезка (ну и соответственно конечной системы непересекающихся отрезков)

[Mikhail_K]

artempalkin в сообщении #1537783 писал(а):

Компактным и замкнутым одно и то же?

Ну-ка вспоминайте, какие множества компактны на числовой прямой $\mathbb{R}$.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1537783 писал(а):

Компактным и замкнутым одно и то же?

Вспоминается шутка с мехматского "Дня Пифагора" (или Архимеда?): "Я компакт. Я замкнут и ограничен.".

[svv]

(Оффтоп)

Есть ещё такой вариант:
— Дорогая, ты у меня такая компактная...
— Что, маленькая и аккуратная?
— Нет, замкнутая и ограниченная.

[artempalkin]

Ну хорошо, тогда КМ - компакт, т.к. замкнуто и ограничено :)

Но тогда возникает две проблемы, начну с первой.

Откуда мы знаем, что существует даже бесконечное покрытие КМ интервалами суммарной малой длины? Мы знаем, что КМ - борелевское множество, то есть оно порождается интервалами, но оно нигде не плотно... в общем, про бесконечное количество интервалов даже не очевидно как-то (суммарно малой длины)

[RIP]

artempalkin в сообщении #1537767 писал(а):

Могу ли я покрыть канторово множество (либо какую-то его вполне конкретную часть, на которой функция возрастает на $1/2$ или что-то конечном) конечным числом интервалов сколь угодно малой длины в сумме?

Просто вспомните, как строится Канторово множество: на $n$-м шаге оно покрыто отрезками с суммарной длиной $(2/3)^n$.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1537816 писал(а):

Просто вспомните, как строится Канторово множество: на $n$-м шаге оно покрыто отрезками с суммарной длиной $(2/3)^n$.

Ааа, гениально! Получается, что канторово множество содержится в каждом из канторовых "шагов" (ну, учитывая, что оно является их пересечениями, это немудрено). А значит покрывается конечным числом отрезков суммарно сколь угодно малой длин. Спасибо!

Я хотел уточнить по поводу леммы Гейне-Бореля на компактных множествах, какой набросок хотя бы доказательства?

Наверное, как-то так: поместим наше компактное множество $F$ в большой интервал $G$. Рассмотрим дополнение $G/F$, оно открытое множество. Любое открытое множество на прямой есть объединение не более чем счетного числа интервалов. Итого $F$ является пересечением не более чем счетного числа отрезков. (то есть любой компакт на прямой можно представить как пересечение не более чем счетного числа отрезков, правильный вывод сделал?) $F$ покрыто счетным числом интервалов... А дальше как?