2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 10:01 


14/02/20
832
Задача состоит в том, чтобы доказать, что канторова лестница не абсолютно непрерывна.

Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что можно подобрать конечное число интервалов сколь угодно малой длины в сумме, так чтобы функция совокупно на этих интервалах возрастала вполне себе конечно.

Итак, канторова лестница возрастает только на канторовом множестве (уж точно не вне него, на каждом интервальчике без пересечений с этим множеством она постоянна). Канторово множество имеет меру нуль. Значит множество, на котором функция возрастает на целую 1, имеет меру нуль.

Но здесь я сталкиваюсь с некоторым неясным моментом. Могу ли я покрыть канторово множество (либо какую-то его вполне конкретную часть, на которой функция возрастает на $1/2$ или что-то конечном) конечным числом интервалов сколь угодно малой длины в сумме? Не вижу, чтобы это откуда-то следовало :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 10:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
artempalkin в сообщении #1537767 писал(а):
Не вижу, чтобы это откуда-то следовало :(
Канторово множество является компактным. Значит, из любого покрытия его интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 11:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
artempalkin
В определении абсолютной непрерывности можно брать счетное число попарно непересекающихся интервалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 11:29 


14/02/20
832
nnosipov в сообщении #1537774 писал(а):
Канторово множество является компактным. Значит, из любого покрытия его интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Компактным и замкнутым одно и то же? Мы на этом этапе знаем, что оно является замкнутым. Но при этом я не знаю док-во леммы Гейне-Бореля для произвольных замкнутых множеств на прямой, только для отрезка (ну и соответственно конечной системы непересекающихся отрезков)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4602
artempalkin в сообщении #1537783 писал(а):
Компактным и замкнутым одно и то же?
Ну-ка вспоминайте, какие множества компактны на числовой прямой $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 12:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
artempalkin в сообщении #1537783 писал(а):
Компактным и замкнутым одно и то же?
Вспоминается шутка с мехматского "Дня Пифагора" (или Архимеда?): "Я компакт. Я замкнут и ограничен.".

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 13:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Есть ещё такой вариант:
— Дорогая, ты у меня такая компактная...
— Что, маленькая и аккуратная?
— Нет, замкнутая и ограниченная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 16:01 


14/02/20
832
Ну хорошо, тогда КМ - компакт, т.к. замкнуто и ограничено :)

Но тогда возникает две проблемы, начну с первой.

Откуда мы знаем, что существует даже бесконечное покрытие КМ интервалами суммарной малой длины? Мы знаем, что КМ - борелевское множество, то есть оно порождается интервалами, но оно нигде не плотно... в общем, про бесконечное количество интервалов даже не очевидно как-то (суммарно малой длины)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
artempalkin в сообщении #1537767 писал(а):
Могу ли я покрыть канторово множество (либо какую-то его вполне конкретную часть, на которой функция возрастает на $1/2$ или что-то конечном) конечным числом интервалов сколь угодно малой длины в сумме?
Просто вспомните, как строится Канторово множество: на $n$-м шаге оно покрыто отрезками с суммарной длиной $(2/3)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не-абсолютная непрерывность "канторовой лестницы"
Сообщение05.11.2021, 17:51 


14/02/20
832
RIP в сообщении #1537816 писал(а):
Просто вспомните, как строится Канторово множество: на $n$-м шаге оно покрыто отрезками с суммарной длиной $(2/3)^n$.

Ааа, гениально! Получается, что канторово множество содержится в каждом из канторовых "шагов" (ну, учитывая, что оно является их пересечениями, это немудрено). А значит покрывается конечным числом отрезков суммарно сколь угодно малой длин. Спасибо!

Я хотел уточнить по поводу леммы Гейне-Бореля на компактных множествах, какой набросок хотя бы доказательства?

Наверное, как-то так: поместим наше компактное множество $F$ в большой интервал $G$. Рассмотрим дополнение $G/F$, оно открытое множество. Любое открытое множество на прямой есть объединение не более чем счетного числа интервалов. Итого $F$ является пересечением не более чем счетного числа отрезков. (то есть любой компакт на прямой можно представить как пересечение не более чем счетного числа отрезков, правильный вывод сделал?) $F$ покрыто счетным числом интервалов... А дальше как?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group