Помогите проинтегрировать функцию (1/cos x)

[rar]

Помогите проинтегрировать функцию: $\int_{}{} \frac{dx}{\cos x}$

Итак и сяк крутил - ни к чему не пришел.

[sergey1]

Домножте числитель и знаменатель на cosx и воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством в знаменателе - станет легче.

[rar]

$\int_{}{} \frac{dx}{\cos x}$ = $\int_{}{} \frac{\cos x}{\cos^2x}dx$ = $\int_{}{} \cos x(1+\tg^2x)dx$ = $\int_{}{} \cos x dx+\int_{}{} \tg^2x \cos x dx$ = $\sin x+\int_{}{} \frac{\sin^2x}{\cos x}dx$

И опять тупик.

[RIP]

Внесите косинус под знак дифференциала.

[rar]

Ага, все неверно. С помощью универсальной подстановке $t=\tg\frac{x}{2}$ все легко проинтегрировалось.

[ILIYA01]

rar, да все правильно вам подсказали sergey1 и RIP. Получается в одну строчку и без универсальной подстановки.

[rar]

Ага, а как вы $\frac{1}{\cos x}$ под знак дифференциала внесете?

[nefus]

А, $cos^2x=1-sin^2x$, не дано расписать?

[RIP]

Надо вносить не $\frac1{\cos x}$, а $\cos x$. Получается высокий логарифм.

[rar]

Что-то вы тут воду мутите. Ладно, с помощью универсальной подстановки все разрешилось проще некуда.

[bot]

А кто это тут мутит то?

rar писал(а):

Ладно, с помощью универсальной подстановки все разрешилось проще некуда.

А это разве сложнее?

sergey1 писал(а):

Домножте числитель и знаменатель на cosx

$$\int \frac {dx}{\cos x}=\int \frac {\cos xdx}{\cos^2 x}... =$$

RIP писал(а):

Внесите косинус под знак дифференциала.

$$= \int \frac {d\sin x}{\cos^2 x} ... =$$

nefus писал(а):

А, $cos^2x=1-sin^2x$, не дано расписать?

$$= \int \frac {d\sin x}{1-sin^2x} = ...$$

Ещё подсказка нужна?

[rar]

Спасибо.
У меня опыта, конечно, по-меньше чем у вас, поэтому задам вопрос. Я так понял, все что можно представить в виде производной в подинтегральной функции (производную можно представить в виде произведения с dx) - можно подвести под знак дифференциала?

[ewert]

rar писал(а):

Спасибо.
У меня опыта, конечно, по-меньше чем у вас, поэтому задам вопрос. Я так понял, все что можно представить в виде производной в подинтегральной функции - можно подвести под знак дифференциала?

можно безусловно. Вопрос лишь -- выйдет ли с этого прок.

В Вашем примере внесение косинуса (после домножения на него) под знак дифференциала -- безусловно полезно. Но -- исключительно потому, что оставшееся выражение легко выражается через синусы. Т.е., собственно, потому, что косинус в исходном интеграле стоял в нечётной степени (и это есть некий вариант некоего общего правила).

А вообще -- никаких общих рекомендаций на все времена не существует, ибо интегрирование (в отличие от дифференцирования) -- скорее искусство.