Усреднение погрешностей

[Reginmaister]

Добрый день, уважаемые форумчане.
Пожалуйста, подскажите, как корректнее обращаться с погрешностями в следующей ситуации: есть число $F$, которое получается усреднением чисел $f_{1}$, ..., $f_{n}$, для каждого из которых уже посчитаны погрешности $\Delta f_{1}$, ..., $\Delta f_{n}$ по стандартной формуле для погрешности косвенного измерения. Как правильно посчитать погрешность $\Delta F$ на основе этих данных?
В интернете нагуглил формулу для нескореллированных величин $x$ и $y$: $\delta z = \sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}$, но в случае большого количества $n$ усредняемых величин (и, соответственно, погрешностей) рассчитанная таким образом погрешность среднего набегает нереалистично большая.

[Pphantom]

Reginmaister в сообщении #1537558 писал(а):

В интернете нагуглил формулу для нескореллированных величин $x$ и $y$: $\delta z = \sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}$,

Пожалуй, надо бы еще нагуглить там же, как $z$ связано с $x$ и $y$.

[zykov]

Пусть $S = f_1 + ... + f_n$.
Наихудший случай, если они все коррелированы $\Delta S = \Delta f_1 + ... + \Delta f_n$.
Если они не коррелированы, то $\Delta S^2 = \Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2$.
В частности, если все $\Delta f_i$ одинаковы, то $\Delta S = \sqrt n \Delta f$.

Если $F=S/n$, то $\Delta F = \Delta S / n$.

[Reginmaister]

Pphantom в сообщении #1537559 писал(а):

Reginmaister в сообщении #1537558 писал(а):

В интернете нагуглил формулу для нескореллированных величин $x$ и $y$: $\delta z = \sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}$,

Пожалуй, надо бы еще нагуглить там же, как $z$ связано с $x$ и $y$.

В том источнике было написано, что это для среднего как раз..
Правда, я бы тогда предположил, что должно быть $\Delta z = \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{2}$, если пользоваться общей формулой $\delta f = \sqrt{(\frac{\delta f}{\delta x})^2 \cdot (\Delta x)^2 + (\frac{\delta f}{\delta y})^2 \cdot (\Delta y)^2 + ...}$.
Тогда для общего случая вышло бы $\Delta z = \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + ...}}{n}$, если, конечно, так можно в принципе делать. Мои усредняемые величины независимые.

[Pphantom]

Reginmaister в сообщении #1537574 писал(а):

В том источнике было написано, что это для среднего как раз..

Ну, стало быть, кто-то ошибся. Либо вы, либо первоисточник.

[Reginmaister]

zykov в сообщении #1537562 писал(а):

Пусть $S = f_1 + ... + f_n$.
Наихудший случай, если они все коррелированы $\Delta S = \Delta f_1 + ... + \Delta f_n$.
Если они не коррелированы, то $\Delta S^2 = \Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2$.
В частности, если все $\Delta f_i$ одинаковы, то $\Delta S = \sqrt n \Delta f$.

Если $F=S/n$, то $\Delta F = \Delta S / n$.

Спасибо за ответ, я как раз пытался использовать приведенную Вами формулу для некоррелированных величин и естественным образом получается, что при больших $n$ погрешность очень большая, несмотря на то, что отдельные погрешности усредняемых величин малы.

-- 03.11.2021, 16:46 --

zykov в сообщении #1537562 писал(а):

Пусть $S = f_1 + ... + f_n$.
Наихудший случай, если они все коррелированы $\Delta S = \Delta f_1 + ... + \Delta f_n$.
Если они не коррелированы, то $\Delta S^2 = \Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2$.
В частности, если все $\Delta f_i$ одинаковы, то $\Delta S = \sqrt n \Delta f$.

Если $F=S/n$, то $\Delta F = \Delta S / n$.

Прошу прощения, когда писал предыдущее сообщение, не обратил внимание, что Вы рассматривали $S$ как сумму $f_i$, а не среднее. Тогда правильно ли я делаю вывод, что для среднего будет $\Delta S^2 = \frac{\Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2}{n^2}$ ?
P.S. Извиняюсь, конечно, за элементарный вопрос, но что-то математику совсем забыл..

[zykov]

Reginmaister в сообщении #1537576 писал(а):

что для среднего будет $\Delta S^2 = \frac{\Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2}{n^2}$ ?

$\Delta F^2 = \frac{\Delta f_1^2 + ... + \Delta f_n^2}{n^2}$