Уравнение x+y+z=1/x+1/y+1/z

[Andrey A]

scwec в сообщении #1538236 писал(а):

... но очень громоздкие.

Не стоит беспокойства, достаточно того что они существуют. Лучше предложу идею, мало ли пригодится. Если для рациональных $a,b,c,d$ выполняется $\dfrac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ac}=d^2,$ то тройка $x=a/d,y=b/d,z=c/d$ образует решение. Дело сводится к уравнению $abc(a+b+c)(ab+bc+ac)=\square.$ Вроде бы не страшное. Красивая задача, хотелось бы увидеть $2$ х-параметрическое решение.

[Shadow]

Andrey A в сообщении #1538259 писал(а):

$abc(a+b+c)(ab+bc+ac)=d^2.$

В рациональных? Ну, тут можно взять $b,c$ за константы (параметры, их два). Относительно $a,d$ это эллиптическая кривая. Есть хорошая точка $a=-c,d=bc^2$, с которой, думаю, можно работать. На само деле это $xy(x+y+1)(xy+x+y)=z^2$

[Andrey A]

Shadow в сообщении #1538274 писал(а):

... взять $b,c$ за константы (параметры, их два).

Боюсь только, что при делении $a/d,b/d,c/d$ один из параметров улетучится, и получим очередное $1$-параметрическое. Как это объехать, пока не очень понимаю.