Оценить интеграл от одной функции через свойства другой

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть на вещественной прямой дано открытое множество $A=\bigcup\limits_{k=1}^{N}(a_k,b_k), N\leqslant\infty$.
На этом открытом множестве даны две неотрицательные непрерывные функции $f,g$, причем на каждом интервале $(a_k,b_k)$ верно следующее:
1) функция $f$ строго убывает,
2) верно неравенство $g(x)<f(x)$,
3) значения $f$ и $g$ на концах интервалов совпадают $f(a)=g(a), f(b)=g(b)$,
4) $\int\limits_{a_k}^{b_k}f(x)dx \leqslant f(a_k)$



Допустим, что мы хотим оценить интеграл от функции $f$ по множеству $A$ по каким-нибудь характеристикам $g$.
Поступим следующим образом: возьмем те интервалы $(a_k,b_k)$, на которых верно неравенство $g(a)\leqslant 2g(x)$. Тогда $f(x)\leqslant f(a) =g(a) \leqslant 2g(x)$, и беря от обеих частей интегралы по отрезку $[a_k,b_k]$, получим $\Large \displaystyle \int\limits_{a_k}^{b_k}f(x)dx \leqslant 2\int\limits_{a_k}^{b_k}g(x) dx$. Этот случай соответствует графикам слева на картинке выше.
На тех же интервалах $(a_n,b_n)$, где найдется точка $c$, такая что $g(a)>2g(c)$ интеграл $\Large \displaystyle \int\limits_{a_n}^{b_n}f(x) dx$ будем оценивать через вариацию функции $g$, а именно
$\Large \displaystyle \int\limits_{a_n}^{b_n}f(x) dx$\leqslant f(a_n)=g(a_n)= 2g(a_n)-g(a_n) < 2(g(a_n)-g(c))\leqslant 2V\limits_{a_n}^{b_n}g. Этот случай соответствует графикам справа на картинке выше.
Суммируя по всем интервалам, получим $\int\limits_A f(x)dx \leqslant \int\limits_A g(x)dx + V\limits_A g$.
В этом утверждение, можно сказать, мы оценили интеграл от функции $f$ через интегралы от $g$ и $g'$ (вариация функции $g$, если $g$ абсолютно непрерывна). Я пытаюсь заменить вариацию функции $g$ какой-нибудь другой ее характеристикой, но пока, говоря по правде, ничего не придумал. Может кто-нибудь подкинет идейку, что бы тут можно было попробовать использовать.