Как привести кубическое уравнение к каноническому виду?

[kisvadim]

Читаю определение в Википедии:
Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:

$ax^3+bx^2+cx+d = 0$, $a \neq 0$

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду путём деления на $a$ и замены переменной ${\displaystyle x=y-{\displaystyle \frac {b}{3a}}}.

Во первых вопрос, откуда тут взялся «$y$»? Он нигде до этого не определен, как можно его использовать? В программировании бы точно была ошибка.

Читаю Кострикина «Введение в алгебру. Часть I» (решил освоить эту книгу и уже на 15-й странице возник «затык»). Там вообще аналогичное уравнение приводится к виду:

$x^3 + px + q = 0$ с помощью подстановки $\displaystyle x \to x - \frac{a}{3}$. Также «$p$», «$q$» до этого никак не определены, также ничего не сказано и про операцию $\to$. Снова тройка в знаменателе, которая совершенно не понятно откуда возникла, что стало с «$b$» и «$c$», куда они делись?

Вроде математика — это область, где все должно быть точно и логично.

[zykov]

Вот это:

kisvadim в сообщении #1536721 писал(а):

${\displaystyle x=y-{\displaystyle \frac {b}{3a}}}$

и есть определение $y$.
PS: програмирование кстати бывает разное

kisvadim в сообщении #1536721 писал(а):

что стало с «$b$» и «$c$», куда они делись?

Они в $p$ и $q$ превратились.

kisvadim в сообщении #1536721 писал(а):

про операцию $\to$.

Это замена переменной.

[kisvadim]

zykov в сообщении #1536722 писал(а):

Вот это:

kisvadim в сообщении #1536721 писал(а):

${\displaystyle x=y-{\displaystyle \frac {b}{3a}}}$

и есть определение $y$.

Обычно определение начинается с «$y =$». Тут $x$ содержится в формуле, в которой нет никаких $y$.
Если мы хотим определить новую переменную $y$, наверное нужно было бы написать: $\displaystyle y = x + \frac{b}{3a}$

[Pphantom]

kisvadim в сообщении #1536723 писал(а):

Если мы хотим определить новую переменную $y$, наверное нужно было бы написать: $\displaystyle y = x + \frac{b}{3a}$

Вам ничего не мешает это сделать, но для выполнения подстановки исходный вид удобнее.

[zykov]

kisvadim в сообщении #1536723 писал(а):

Обычно определение начинается

Нет, определение может быть сделано по-разному.

kisvadim в сообщении #1536723 писал(а):

Если мы хотим определить новую переменную $y$, наверное нужно было бы написать: $\displaystyle y = x + \frac{b}{3a}$

Нет. Тут $x$ выражено через $y$. Подставляете это выражение в формулу вместо $x$, упрощаете и получаете результат - выражение от $y$.

[kisvadim]

zykov в сообщении #1536726 писал(а):

kisvadim в сообщении #1536723 писал(а):

Обычно определение начинается

Нет, определение может быть сделано по-разному.

kisvadim в сообщении #1536723 писал(а):

Если мы хотим определить новую переменную $y$, наверное нужно было бы написать: $\displaystyle y = x + \frac{b}{3a}$

Нет. Тут $x$ выражено через $y$. Подставляете это выражение в формулу вместо $x$, упрощаете и получаете результат - выражение от $y$.

Спасибо, попробовал подставить, получилось. Некоторое прояснение произошло. Как интересно придумали именно такую подстановку? Испробовали разные варианты?

[zykov]

Подставьте $x=y-w$, упростите, найтиде $w$, чтобы коэффициент при второй степени был $0$.