# Author: Alm99-collab
# Date: 25/10/2021 2:00
# Description: MSUT STANKIN Μyagkov Alexandr IDM - 21 - 03
"""
Программа для численного решения волнового уравнения в одномерном случае,
при разлинчых начальных и граничных условий, с помощью явной разностной
схемы типа "крест".
Общий вид волнового уравнения:
u_tt = a**2*u_xx + f(x,t) (0,L) где u=0 на диапазоне x=0,L, for t in (0,T].
Начальные условия в общем случае: u=I(x), u_t=V(x).
В случае неоднородного уравнения задается функция f(x,t).
Синтакис основной функции решателя:
u, x, t = solver(I, V, f, a, L, dt, C, T, user_func) где:
I = I(x) - функция.
V = V(x) - функция.
f = f(x,t) - функция.
U_0, U_L, - условия на границе.
C - число Куранта (=a*dt/dx), зависящее от шага dx. Является криетрием
стабильности численных расчето, если соблюдено условие (<=1)
dt - шаг по времени.
dx - шаг по координате.
T - конечное время симуляции волнового процесса.
user_func - функция (u, x, t, n) для вызова пользовательских сценариев,
таких как анимация или вывод графика, запси данных в текстовый файл,
расчет ошибки (в случае если известно точное решение) и.т.д.
"""
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import time
import glob
# функция решатель для данного дифференциального уравнения
def solver(I, V, f, a, U_0, U_L, L, dt, C, T,
user_func = None):
"""
Функция решения волнового уравнения u_tt = a**2*u_xx + f(x,t) (0,L),
где u=0 на диапазоне x=0,L, for t in (0,T].
Начальные условия в общем случае: u=I(x), u_t=V(x).
В случае неоднородного уравнения задается функция f(x,t).
------------------------------------------------------------------------
:param I:
:param V:
:param f:
:param a:
:param L:
:param C:
:param T:
:param U_0:
:param U_L:
:param dt:
:param user_func:
:return:
"""
nt = int(round(T / dt))
t = np.linspace(0, nt * dt, nt + 1) # Узлы сетки по времени
dx = dt * a / float(C)
nx = int(round(L / dx))
x = np.linspace(0, L, nx + 1) # Узлы сетки по координате
C2 = C ** 2
dt2 = dt * dt
# Проверка того, что массивы являются элементами t,x
dx = x[1] - x[0]
dt = t[1] - t[0]
# Выбор и инициализация дополнительных параметров f, I, V, U_0, U_L если равны нулю
# или не передаются
if f is None or f == 0:
f = lambda x, t: 0
if I is None or I == 0:
I = lambda x: 0
if V is None or V == 0:
V = lambda x: 0
if U_0 is not None:
if isinstance(U_0, (float, int)) and U_0 == 0:
U_0 = lambda t: 0
# иначе: U_0(t) является функцией
if U_L is not None:
if isinstance(U_L, (float, int)) and U_L == 0:
U_L = lambda t: 0
# иначе: U_L(t) является функцией
# --- Выделяем память под значения решений ---
u = np.zeros(nx + 1) # Массив решений в узлах сетки на временном шаге u(i,n+1)
u_n = np.zeros(nx + 1) # Массив решений в узлах сетки на временном шаге u(i,n)
u_nm1 = np.zeros(nx + 1) # Массив решений в узлах сетки на временном шаге u(i,n-1)
# --- Проверка индексов для соблюдения размерностей массивов ---
Ix = range(0, nx + 1)
It = range(0, nt + 1)
# --- Запись начальных условий ---
for i in Ix:
u_n[i] = I(x[i])
if user_func is not None:
user_func(u_n, x, t, 0)
# --- Разностная формулма явной схемы "типа крест" на первом шаге ---
for i in Ix[1:-1]:
u[i] = u_n[i] + dt * V(x[i]) + 0.5 * C2 * (u_n[i - 1] - 2 * u_n[i] + u_n[i + 1]) + 0.5 * dt2 * f(x[i], t[0])
i = Ix[0]
if U_0 is None:
# Запись граничных условий (x=0: i-1 -> i+1 u[i-1]=u[i+1]
# где du/dn = 0, on x=L: i+1 -> i-1 u[i+1]=u[i-1])
ip1 = i + 1
im1 = ip1 # i-1 -> i+1
u[i] = u_n[i] + dt * V(x[i]) + 0.5 * C2 * (u_n[im1] - 2 * u_n[i] + u_n[ip1]) + 0.5 * dt2 * f(x[i], t[0])
else:
u[0] = U_0(dt)
i = Ix[-1]
if U_L is None:
im1 = i - 1
ip1 = im1 # i+1 -> i-1
u[i] = u_n[i] + dt * V(x[i]) + 0.5 * C2 * (u_n[im1] - 2 * u_n[i] + u_n[ip1]) + 0.5 * dt2 * f(x[i], t[0])
else:
u[i] = U_L(dt)
if user_func is not None:
user_func(u_n, x, t, 1)
# Обновление данных и подготовка к новому шагу
u_nm1, u_n, u = u_n, u, u_nm1
# --- Симуляция (цикл прохода по времени) ---
for n in It[1:-1]:
# Обновление значений во внутренних узлах сетки
for i in Ix[1:-1]:
u[i] = - u_nm1[i] + 2 * u_n[i] + C2 * (u_n[i - 1] - 2 * u_n[i] + u_n[i + 1]) + dt2 * f(x[i], t[n])
# --- Запись граничных условий ---
i = Ix[0]
if U_0 is None:
# Установка значений граничных условий
# x=0: i-1 -> i+1 u[i-1]=u[i+1] где du/dn=0
# x=L: i+1 -> i-1 u[i+1]=u[i-1] где du/dn=0
ip1 = i + 1
im1 = ip1
u[i] = - u_nm1[i] + 2 * u_n[i] + C2 * (u_n[im1] - 2 * u_n[i] + u_n[ip1]) + dt2 * f(x[i], t[n])
else:
u[0] = U_0(t[n + 1])
i = Ix[-1]
if U_L is None:
im1 = i - 1
ip1 = im1
u[i] = - u_nm1[i] + 2 * u_n[i] + C2 * (u_n[im1] - 2 * u_n[i] + u_n[ip1]) + dt2 * f(x[i], t[n])
else:
u[i] = U_L(t[n + 1])
if user_func is not None:
if user_func(u, x, t, n + 1):
break
# Обновление данных и подготовка к новому шагу
u_nm1, u_n, u = u_n, u, u_nm1
# Присвоение значений требуемому узлу после прохода по сетке
u = u_n
return u, x, t
# функция симуляции и анимации, сохранения данных в файл
def simulate(I, V, f, a, U_0, U_L, L, dt, C, T, umin, umax, animate = True):
"""
Запуск решателя и анимации,сохранения данных в файл
----------------------------------------------------------------------------
:param I:
:param V:
:param f:
:param a:
:param L:
:param dt:
:param C:
:param T:
:param umin:
:param umax:
:param U_0:
:param U_L:
:param animate:
:param mode: # выбор режима работы (анимация и визуализация или запись данных в файл)
:return:
"""
if callable(U_0):
bc_left = 'u(0,t)=U_0(t)'
elif U_0 is None:
bc_left = 'du(0,t)/dx=0'
else:
bc_left = 'u(0,t)=0'
if callable(U_L):
bc_right = 'u(L,t)=U_L(t)'
elif U_L is None:
bc_right = 'du(L,t)/dx=0'
else:
bc_right = 'u(L,t)=0'
class PlotMatplotlib:
def __call__(self, u, x, t, n):
""" user_func для визуализации """
if n == 0:
plt.ion()
self.lines = plt.plot(x, u, 'r-')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.axis([0, L, umin, umax])
plt.legend(['t=%f' % t[n]], loc = 'lower left')
else:
self.lines[0].set_ydata(u)
plt.legend(['t=%f' % t[n]], loc = 'lower left')
plt.draw()
plt.grid()
time.sleep(1) if t[n] == 0 else time.sleep(0.5)
plt.savefig('tmp_%04d.png' % n) # для создания анимации из кадров
plot_u = PlotMatplotlib()
# Очистка фреймов для создания анимированного изображения
for filename in glob.glob('frame_*.png'):
os.remove(filename)
fps = 4 # frames per second
codec2ext = dict(flv = 'flv', libx264 = 'mp4', libvpx = 'webm',
libtheora = 'ogg') # video formats
filespec = 'tmp_%04d.png'
movie_program = 'ffmpeg' # or 'avconv'
for codec in codec2ext:
ext = codec2ext[codec]
cmd = '%(movie_program)s -r %(fps)d -i %(filespec)s ' \
'-vcodec %(codec)s movie.%(ext)s' % vars()
os.system(cmd)
user_func = plot_u if animate else None
u, x, t = solver(I, V, f, a, U_0, U_L, L, dt, C, T, user_func)
return u, x, t
# функция постановки задачи
def problem():
I = lambda x: 0.2 * (1 - x) * math.sin(math.pi * x)
V = lambda x: 0
f = lambda x, t: 0
U_0 = lambda t: 0
U_L = 0
L = 1
a = 1
C = 0.75
nx = 12
dt = C * (L / nx) / a
T = 1
umin = -0.25
umax = 0.25
u, x, t = simulate(I, V, f, a, U_0, U_L, L, dt, C, T, umin, umax, animate=True)
return u, x, t
if __name__ == '__main__':
u, x, t = problem()
print(u,x,t)
28.10.2021, 12:03 