Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

[alex18]

Помогите, пожалуйста, исследовать на устойчивость нулевое решение системы в зависимости от параметров:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&-x^k+ay^3 \\ \dot{y}&=&bx^3-y^k \\ \end{array} \right.$, где $a,b \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N}$.
Ясно, что теорема об устойчивости по первому приближению работает только при $k=1$, ведь тогда собственные числа якобиана в нуле равны $-1$, и нулевое решение устойчиво. При остальных $k$, видимо, предполагается исследовать систему с помощью функций Ляпунова. У меня получилось в частном случае, когда $k$ - чётное, $a,b>0$ доказать неустойчивость, взяв в качестве функции Ляпунова $V=xy$ и воспользовавшись теоремой Четаева в третьей четверти, так как там $\frac{dV}{dt}=-xy(x^{k-1}+y^{k-1})+ay^4+bx^4>0$ при вышеупомянутых условиях на параметры. Пожалуйста, подскажите, как можно подступиться к этой системе для остальных случаев?