2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Покрыть гиперсферу точками
Сообщение21.10.2021, 20:47 


13/07/10
106
Добрый день! Прошу помощи, кажется, в классической задаче.

Возьмем $\theta_1,...,\theta_n \in \mathbb{R}^d$ c условиями $\forall i \; \left\lVert\theta_i\right\rVert_{L_2} = 1$.
Какое существует максимальное количество таких точек, что $\forall i,j \; i\ne j: \left\lVert\theta_i - \theta_j\right\rVert_{L_2} \geqslant l$ ?

Другими словами, сколько максимально точек можно расположить на гиперсфере (размерности $d$) таким образом, чтобы любые две находились на расстоянии не менее $l$?

В случае $d < 3$ решение понятно. Интересует общий случай и подойдет асимптотически верная оценка сверху.

На уровне идеи возникают такие мысли: объем, ограниченный гиперсферов, всегда больше объема многогранника, натянутого на наши точки. Объем такого многогранника есть количество решений системы неравенств, т.е. какой то стандартный кратный интеграл. Для его оценки нужно как-то приплести ограничение на попарные расстояния, но что-то довести до результата не удаётся.

Буду благодарен за полезные ссылки на литературу по этой теме. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрыть гиперсферу точками
Сообщение21.10.2021, 21:08 


18/09/21
670
Circle packing: On the sphere

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрыть гиперсферу точками
Сообщение21.10.2021, 21:41 


13/07/10
106
zykov в сообщении #1535801 писал(а):


Я не пытаюсь сделать расстояние наибольшим, $l$ -- фиксированное число, например, единица. Иными словами, ни о каких минимаксных задачах тут речи не идёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрыть гиперсферу точками
Сообщение21.10.2021, 21:55 


18/09/21
670
DiMath в сообщении #1535807 писал(а):
Я не пытаюсь сделать расстояние наибольшим
Там про максимизацию минимума (max-min). По сути тоже что и тут.
Если минимум больше вашего $l$, то подходит. Если уже меньше, то уже не подходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group