2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Гамильтона-Якоби (знак +/-)
Сообщение18.10.2021, 20:29 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Здравствуйте.
Пробую рассмотреть уравнение Гамильтона-Якоби на примере классической свободной материальной точки (одномерный случай, движение вдоль оси $Ox$).

С одной стороны, лагранжиан $L=\frac{mv_{0x}^2}{2}$, где $v_{0x}$ - начальная скорость (постоянная), $v_{0x}=\frac{x-x_0}{t-t_0}$, где $x(t_0)=x_0$. Действие $S=\int\limits_{t_0}^tLdt=\frac{m}{2}\big(\frac{x-x_0}{t-t_0}\big)^2\int\limits_{t_0}^tdt=\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}$.

С другой стороны, используем метод разделения переменных. Действие $S=S_t(t)+S_x(x)$. Уравнение Гамильтона-Якоби: $\frac{\partial S}{\partial t}+H=0$, гамильтониан $H=\frac{p_x^2}{2m}$, далее $\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\partial S_t}{\partial t}=-E$, где $E$ - полная энергия, то есть $E=\frac{mv_{0x}^2}{2}=\frac{m}{2}\big(\frac{x-x_0}{t-t_0}\big)^2$. Импульс $p_x=\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial S_x}{\partial x}$. Поэтому уравнение Гамильтона-Якоби запишется как: $-E+\frac{1}{2m}\big(\frac{\partial S_x}{\partial x}\big)^2=0$. Отсюда $S_x=\pm\sqrt{2mE}(x-x_0)$. Тогда действие $S=-E(t-t_0)\pm\sqrt{2mE}(x-x_0)$. Подставим сюда выражение для $E$, получим $S=-\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}\pm m\frac{(x-x_0)^2}{|t-t_0|}$. Здесь у нас есть две возможности для выбора знака ("$+$" или "$-$") и две возможности для раскрытия модуля ($t-t_0$ или $-(t-t_0)$). Вместе эти четыре комбинации дают два варианта для действия: $S=\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}$ и $S=-\frac{3m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}$. Первый вариант совпадает с результатом, полученным через лагранжиан, а второй вариант нет. В этом и мой вопрос.

И ещё, насчёт двух знаков в $S=-E(t-t_0)\pm\sqrt{2mE}(x-x_0)$. Я думаю они оба имеют физический смысл. В книге Э. Шмутцера "Основные принципы классической механики и классической теории поля (канонический аппарат)" в одном примере бралась частная производная $\frac{\partial S}{\partial E}$ и приравнивалась постоянной $\beta$. В нашем случае $S=-E(t-t_0)\pm\sqrt{2mE}(x-x_0)$ и $\frac{\partial S}{\partial E}=-(t-t_0)\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}(x-x_0)=\beta$, далее условие $x(t_0)=x_0$ дает $\beta=0$, поэтому $t-t_0=\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}(x-x_0)$ или $\frac{x-x_0}{t-t_0}=v_{0x}=\pm\sqrt{\frac{2E}{m}}$. И это правильно и следует из того, что $E=\frac{mv_{0x}^2}{2}$ и отсюда $v_{0x}=\pm\sqrt{\frac{2E}{m}}$. И для проекции начальной скорости $v_{0x}$ на ось $Ox$ существует два знака (если точка движется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби (знак +/-)
Сообщение18.10.2021, 21:16 


20/04/10
1231
Русь
misha.physics в сообщении #1535378 писал(а):
Подставим сюда выражение для $E$, получим $S=-\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}\pm m\frac{(x-x_0)^2}{|t-t_0|}$.
Здесь корень из энергии неправильно извлечён, не хватает ещё одного модуля от разности координат. Кстати, всегда можно проверить условия на частные производные и понять правильно ли выражение для функции действия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби (знак +/-)
Сообщение18.10.2021, 21:35 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
lel0lel в сообщении #1535382 писал(а):
Здесь корень из энергии неправильно извлечён, не хватает ещё одного модуля от разности координат.

Ой, точно, спасибо! Тогда будет $S=-\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}\pm m\big|\frac{x-x_0}{t-t_0}\big|(x-x_0)$. Теперь если $\frac{x-x_0}{t-t_0}=v_{0x}$ положительно, то берём знак "$+$" и раскрываем модуль с плюсом, а если отрицательно, то берём знак "$-$" и раскрываем модуль с минусом. Тогда в любом случае будет $S=\frac{m}{2}\frac{(x-x_0)^2}{t-t_0}$.
lel0lel в сообщении #1535382 писал(а):
Кстати, всегда можно проверить условия на частные производные и понять правильно ли выражение для функции действия.

Точно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group