Вопрос о многочленах

[bataille]

Люди добрые, подскажите.

Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$. Правильно ли я понимаю, что имеют смысл только $f(\bar{0})$ и $f(\bar{1})$, где $\bar{0}$ и $\bar{1}$ классы вычетов по модулю 2?

Однако наряду с этим, для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Z}$ можно помыслить себе $f(x)$, где $x\notin\mathbb{Z}$, а например $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$.

[kmpl]

Обычно, когда говорят о многочлене над некотороым полем (или кольцом), то подразумевают, что и коэффициенты, и значения переменной этого многочлена находятся в этом поле (кольце). Но никто не запрещает рассматривать многочлены с коэффициентами из одного поля и значениями переменной из расширения этого поля (например, многочлен с вещественными коэффициентами и комплексными значениями переменной).

[bataille]

bataille в сообщении #1535085 писал(а):

Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$.

Но в этом случае $x\in\mathbb{Z}_2$ и только?

[kmpl]

Ну если вы рассматриваете многочлен, как элемент кольца многочленов над полем $Z_2$, то да. Но Вам никто не запрещает подставлять вместо переменной элементы какого-то надполя, ну там алгебраического замыкания допустим или какого-нибудь ещё. Здесь нету одного правильного ответа, все зависит от Ваших целей.

[bataille]

kmpl
Спасибо!

[mihaild]

Чтобы что-то можно было подставить в многочлен, нужно уметь это что-то возводить в степень, умножать на коэффициенты и складывать. В частности, подходит любая алгебра над нашим полем - надполе, линейные операторы на векторном пространстве над этим полем и т.д.

[beroal]

bataille в сообщении #1535085 писал(а):

Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$. Правильно ли я понимаю, что имеют смысл только $f(\bar{0})$ и $f(\bar{1})$, где $\bar{0}$ и $\bar{1}$ классы вычетов по модулю 2?

Однако наряду с этим, для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Z}$ можно помыслить себе $f(x)$, где $x\notin\mathbb{Z}$, а например $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$.

В последнем случае вы берёте естественную функцию из $\mathbb{Z}$ в $C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$ (не знаю, что означает $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$), превращаете её (с помощью соответствующего функтора) в функцию из множества всех многочленов с коэффициентами в $\mathbb{Z}$ во множество всех многочленов с коэффициентами в $C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$, и последнюю функцию применяете к $f$, а в результат (многочлен) подставляете $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$. Как обычно в математике, все эти преобразования подразумеваются.