Ассимптотическое разложение функции без Тейлора

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

[zykov]

взять пределы

-- 14.10.2021, 22:05 --

с кубическим корнем - возвести многочлен в куб

[Pphantom]

Ну что-то соответствующее все-таки знать надо. Например, что синус малого угла примерно равен самому углу... Во втором случае, впрочем, проще приравнять искомое разложение (с неизвестными коэффициентами) к корню, возвести равенство в куб и добиться равенства коэффициентов при соответствующих степенях.

P.S. Если что, кубический корень набирается так: $\sqrt[3]{x+1}$.

[Stensen]

Спасибо, пока понятно

[Stensen]

Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} = b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

[Евгений Машеров]

Приравниваем арксинус к желаемому полиному и берём синус от обеих частей. Затем расписываем синус суммы, косинусы заменяем на единицы, синусы на x, ввиду малости.

[Stensen]

Благодарствую

[Brukvalub]

Stensen в сообщении #1534967 писал(а):

Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

Осмелюсь заметить, что такое разложение вполне бессмысленно в его третьем члене.

[Stensen]

Да, там косяк, должно быть $ o(x^2)$

[vpb]

Вычислить пердел ой, виноват, предел... $\lim_{x\to 0} (\sqrt[3]{1+x}-1)/x $ способом "домножить на сопряженное". И затем предел $\lim_{x\to 0}(\sqrt[3]{1+x}-1-ax)/x^2$, где $a$ --- найденное ранее значение первого предела, опять тем же способом. Подозреваю, что так делали примерно во времена Ньютона.

-- 16.10.2021, 01:32 --

(В общем, на манер примеров с корнями из Демидовича, номер 437 и далее). С тригонометрическими, думаю, тоже как-то так можно, только не знаю как.

[TOTAL]

Stensen в сообщении #1534987 писал(а):

Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} = b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.

[Stensen]

TOTAL в сообщении #1535075 писал(а):

$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.

Спасибо, все понятно

[Padawan]

А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

[mihiv]

Padawan в сообщении #1535864 писал(а):

А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

Интегрируем по частям:

$$\sin x=\int \limits _0^x\cos tdt=x\cos x+\dfrac {x^2}2\sin x-\dfrac {x^3}6\cos x-\frac 16\int \limits _0^xt^3\sin tdt\eqno (1)$$

Так как$\int \limits _0^xt^3\sin tdt=o(x^3), \cos x=1-2\sin ^2\frac x2$, то из (1) получим:

$$\sin x=\dfrac {x(1-\frac {x^2}6)(1-\frac {x^2}2)}{1-\frac {x^2}2}+o(x^3)=x-\dfrac {x^3}6+o(x^3)$$

[Otta]

mihiv в сообщении #1535954 писал(а):

Интегрируем по частям:

Смущает, однако, следующее: интегрирование по частям традиционно доказывается на основе дифференциального исчисления и после него, а если у нас есть производные - то и формулу Тейлора уже можно доказать, используя именно производные.
То есть то ли это, что хотелось? Не знаю.