2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 21:59 
Аватара пользователя


26/11/14
584
Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:04 


18/09/21
676
взять пределы

-- 14.10.2021, 22:05 --

с кубическим корнем - возвести многочлен в куб

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24060
Кронштадт
Ну что-то соответствующее все-таки знать надо. Например, что синус малого угла примерно равен самому углу... Во втором случае, впрочем, проще приравнять искомое разложение (с неизвестными коэффициентами) к корню, возвести равенство в куб и добиться равенства коэффициентов при соответствующих степенях.

P.S. Если что, кубический корень набирается так: $\sqrt[3]{x+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:16 
Аватара пользователя


26/11/14
584
Спасибо, пока понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 08:10 
Аватара пользователя


26/11/14
584
Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} =  b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 08:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7948
Москва
Приравниваем арксинус к желаемому полиному и берём синус от обеих частей. Затем расписываем синус суммы, косинусы заменяем на единицы, синусы на x, ввиду малости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 09:02 
Аватара пользователя


26/11/14
584
Благодарствую

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Stensen в сообщении #1534967 писал(а):
Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

Осмелюсь заметить, что такое разложение вполне бессмысленно в его третьем члене.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 21:55 
Аватара пользователя


26/11/14
584
Да, там косяк, должно быть $ o(x^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 01:52 
Заслуженный участник


18/01/15
2592
Вычислить пердел ой, виноват, предел... $\lim_{x\to 0} (\sqrt[3]{1+x}-1)/x $ способом "домножить на сопряженное". И затем предел $\lim_{x\to 0}(\sqrt[3]{1+x}-1-ax)/x^2$, где $a$ --- найденное ранее значение первого предела, опять тем же способом. Подозреваю, что так делали примерно во времена Ньютона.

-- 16.10.2021, 01:32 --

(В общем, на манер примеров с корнями из Демидовича, номер 437 и далее). С тригонометрическими, думаю, тоже как-то так можно, только не знаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 07:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5016
Нов-ск
Stensen в сообщении #1534987 писал(а):
Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} =  b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 12:27 
Аватара пользователя


26/11/14
584
TOTAL в сообщении #1535075 писал(а):
$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.
Спасибо, все понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 07:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 21:48 
Заслуженный участник


03/01/09
1509
москва
Padawan в сообщении #1535864 писал(а):
А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

Интегрируем по частям:$$\sin x=\int \limits _0^x\cos tdt=x\cos x+\dfrac {x^2}2\sin x-\dfrac {x^3}6\cos x-\frac 16\int \limits _0^xt^3\sin tdt\eqno (1)$$Так как$\int \limits _0^xt^3\sin tdt=o(x^3), \cos x=1-2\sin ^2\frac x2$, то из (1) получим:$$\sin x=\dfrac {x(1-\frac {x^2}6)(1-\frac {x^2}2)}{1-\frac {x^2}2}+o(x^3)=x-\dfrac {x^3}6+o(x^3)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 23:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
mihiv в сообщении #1535954 писал(а):
Интегрируем по частям:

Смущает, однако, следующее: интегрирование по частям традиционно доказывается на основе дифференциального исчисления и после него, а если у нас есть производные - то и формулу Тейлора уже можно доказать, используя именно производные.
То есть то ли это, что хотелось? Не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group