2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выбор без возвращения
Сообщение14.10.2021, 11:05 


30/04/21
7
Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$. Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

P.S. Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением и нужно найти вероятность того, что множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются. Ее принцип решения мне понятен, а вот здесь затрудняюсь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение14.10.2021, 13:27 
Заслуженный участник


30/01/09
5064
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

Интересно проследить за судьбой какого-нибудь конкретного элемента исходного множества. Какова вероятность, что он попадёт в первое множество, во второе, в оба, ни в одно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 12:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1506
москва
Можно найти число благоприятных выборов множества $A_2$ при определенном выборе множества $A_1$.
Например, если в качестве $A_1$ выбрано пустое множество, то в качестве $A_2$ годится лишь $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $.
Если же $A_1$ это $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $, то в качестве $A_2$ можно выбрать любое из оставшихся $2^N-1$ подмножеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 13:13 
Заслуженный участник


30/01/09
5064
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$.

Вообще неплохо бы для начала прояснить, что вообще это значит?

-- Пт окт 15, 2021 14:37:24 --

mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением

Если эта задача понятна, то надо решить сначала тоже для выбора с возвращением, но с таким условием:
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$

Затем уже недалеко остаётся до выбора без возвращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 13:51 
Аватара пользователя


06/04/21
126
Без возвращения задача даже упрощается. Подошли 2 рядовых к полковому котлу и хлебают из него черпаками. Проблема только, как в задаче оговорена их остановка. Иначе они не остановятся до $P=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 17:11 


07/03/20
26
1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$;
2)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества $p_1=\frac{1}{2^N}$;
3)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества из остальных подмножеств $p_2=\frac{1}{2^N - 1}$;
4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;
5) Выходить, что искоммая вероятность $p=2^N\cdot p_1\cdot p_2=2^N\cdot \frac{1}{2^N}\cdot \frac{1}{2^N - 1}=\frac{1}{2^N - 1}$;

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 17:19 
Аватара пользователя


06/04/21
126
Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):
1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$

Чувствуется загрузка задачником Кембриджского университета.
А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 18:28 


07/03/20
26
tonven в сообщении #1535043 писал(а):
А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

Что же, попробуем : $p=\frac{1}{2^1-1}=\frac{1}{2-1}=1$ - другого и не может быть, если мы не возвращаем то что выбрали, так как, все подмножества множества $\left\lbrace1\right\rbrace$ - это $\varnothing,\left\lbrace 1 \right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 19:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1506
москва
Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):
4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;

Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 23:18 


07/03/20
26
mihiv в сообщении #1535050 писал(а):
Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

Ну да Ваша заметка основательная! Кажется вероятность зависит от того какое подмножество $A_1$, было выбрано первое и точнее от число его элементов.
Сколько больше элементов у подмножество $A_1$, столько большая вероятность после выбора $A_2$ , $A_1 \cup A_2$=$\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$
Так если $A_1 =\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$, то $p=1$, какого и было быть $A_2$. Надо подумать как это связать $p$ с число элементов $A_1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group