2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 06:47 


29/12/09
301
Привет, всем!

Можно ли найти решения такого уравнения аналитически?

$\sin(Nx)=a\sin(x)$
$x\in[0,\pi]$
Где параметры $N$ и $a$ фиксируется, но потом чтобы их можно было бы варьировать примерно около таких значений
$N\approx100$
$a=(0,10)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7941
Москва
Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N, а для таких, говорят, не бывает решения в радикалах (на самом деле там ещё и косинусы появятся, в виде $\cos(x)=\sqrt{1-y^2}$, так что, наверно, ещё больше степени).
А численно решать можно. Учитывая, что $\sin(x)\approx x$ для малых x, а если a близко к верхней границе, то x должен быть мал, наверно, надо перебирать разные k в $Nx=2\pi k+z$, и решать $\sin(z)=\sin(\frac{2\pi k} N+z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 10:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8270
Евгений Машеров в сообщении #1534895 писал(а):
Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N
Лучше сделать замену $y=\cos{x}$. Тогда получится уравнение $U_{N-1}(y)=a$, где слева --- классический многочлен Чебышева 2-го рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7941
Москва
Ну, в любом случае решать в радикалах уравнение сотой степени вряд ли стоит.
$U_{N-1}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}N\theta {\big )}}{\sin \theta }}=a$
Хотя можно и тов. Ньютоном...

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 13:39 


05/09/16
9448
alexey007
При $N=90;a=8,2$ имеется $9$ корней в промежутке $x \in [0;\pi]$
При $N=90;a=8,3$ корней уже только $7$
При $N=90$ и каком-то одном $8,2<a<8,3$ корней соответственно $8$.
Так что, "аналитически" тут вряд ли чего хорошего будет, кроме ессно $x=0; \pi$ при целых $N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7941
Москва
В силу наличия большого числа корней надо, видимо, указать приближённое значение, и затем его уточнять, скажем, Ньютоном.
$x_{n+1}=\frac {\sin(Nx_n)-a\sin(x_n)}{N\cos(Nx_n)-a\cos(x_n)}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group