2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 13:06 
Аватара пользователя


10/05/09
181
Лес
Студент держит экзамен, состоящий в установлении истинности или ложности пяти утверждений. Какова вероятность правильного ответа на все вопросы, если студент:
1) просто угадывает ответ;
2) знает, что преподаватель всегда дает больше истинных утверждений, чем ложных;
3) знает, что преподаватель никогда не дает подряд трех вопросов, требующих одинакового ответа;
4) знает, что, кроме того, ответы на первый и последний вопросы противоположны;
5) знает еще, что «ложно» — ответ на второй вопрос?

Пусть $A_i=\{\text{студент правильно ответил на } i-\text{й вопрос} \}, где $ $i=1,2,3,4,5$.

1) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,2,3,4,5$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$.

4) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,2,3,4$, $P(A_5)=1$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{16}$.

5) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,3,4,5$, $P(A_2)=1$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot1 \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли решены 1) 4) 5) задачи и как решить 2) и 3) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 13:47 
Аватара пользователя


06/04/21
126
Ответы на вопросы экзамена не оценка вероятности падения конкретной стороной монеты. Любой вопрос поста не имеет смысла ввиду неопределённости стартовых условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 14:36 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
5 — «знает ещё». То бишь, он включает 4, не? Вы это, по-моему, забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 14:44 
Аватара пользователя


06/04/21
126
iifat
Рассмотрим 1-й вопрос. Какова вероятность угадывания правильного ответа на вопрос: Сколько будет 2Х2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 14:49 


18/09/21
670
По условию задачи - 50 на 50.

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 15:15 
Аватара пользователя


06/04/21
126
zykov в сообщении #1534824 писал(а):
По условию задачи - 50 на 50.

Ну коли так, то попробую обозначить общий ход решения.
2-й вопрос подразумевает, что на все вопросы следует отвечать "Да". Всего имеется $2^5$=32 вариантов ответа.
Выбираем из них все, где положительных больше двух. Отношение единственного - все верные - к этому числу и будет ответом на вопрос 2.
На вопрос 3 такая же схема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение13.10.2021, 20:01 
Аватара пользователя


10/05/09
181
Лес
Эта задача из учебного пособия
Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики
из параграфа "Условные вероятности, формула полной вероятности, теорема Байеса"

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение14.10.2021, 04:29 
Аватара пользователя


06/04/21
126
Ответ в задаче остался прежним. Только моё
tonven в сообщении #1534828 писал(а):
2-й вопрос подразумевает, что на все вопросы следует отвечать "Да".
излишне. Дело в том, что по условию задачи требуется
Ёж в сообщении #1534815 писал(а):
правильный ответ на все вопросы
А это означает, что отвечать можно любым из вариантов, лишь бы ответов "Да" было больше чем "Нет". Вероятность сдачи экзамена остаётся прежней.

(Оффтоп)

Вообще, в задачах с подобной формулировкой вероятностями лучше не заморачиваться. Это ж вариация парадокса Монти-Холла. У того сам ведущий открывает дверь с козой, а у Виленкина информация о предпочтениях преподавателя уменьшает число возможных вариантов ответа. И вероятность сдачи экзамена всегда $\frac{1}{N}$, где $N$ - число ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Умножение вероятностей
Сообщение14.10.2021, 21:03 


14/02/20
492
Получается, логика такая: студент заранее выбирает набор ответов, ориентируясь на то, что он знает о "предпочтениях" преподавателя.

(Оффтоп)

А если считать, что студент случайно выбирает набор ответов, а у преподавателя случайно распределены вопросы с их ответами (но все соответствует извращенным предпочтениям преподавателя), то можно даже посчитать матожидание числа правильных ответов :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group